Theorem aceq7 4753

Description: Equivalence of the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49 and our Axiom of Choice (in the form of ac2 4756). The proof does not depend AC on but does depend on the Axiom of Regularity.

Assertion

Ref	Expression
aceq7	|- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u))

Distinct variable group:   x,z,f,y,w,v,u

Proof of Theorem aceq7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq6b 4752	. . 3 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) -> A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
2		aceq6a 4751	. . 3 |- (A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x))
3	1, 2	impbi 157	. 2 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
4		aceq2 4741	. . 3 |- (E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
5	4	albii 1001	. 2 |- (A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
6	3, 5	bitr4 176	1 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 956   e. wcel 960  E.wex 982   =/= wne 1588  A.wral 1648  E.wrex 1649  E!wreu 1650   (_ wss 2050  (/)c0 2283  dom cdm 3176   Fn wfn 3183

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-eprel 2838  df-id 2841  df-fr 2923  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain