Theorem aceqkm 4761

Description: Equivalence of the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49 and Maes' AC ackm 4762. The proof consists of lemmas kmlem1 4745 through kmlem16 4760 and this final theorem. AC is not used for the proof. Note: bypassing the first step (i.e. replacing aceq5 4720 with pm4.2 170) establishes the AC equivalence shown by Mae's writeup. The left-hand-side AC shown here was chosen because it is shorter to display.

Assertion

Ref	Expression
aceqkm	|- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))

Distinct variable group:   x,y,z,v,u,f

Proof of Theorem aceqkm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq5 4720	. 2 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)))
2		eqid 1473	. . . 4 |- {t | E.h e. x t = (h \ U.(x \ {h}))} = {t | E.h e. x t = (h \ U.(x \ {h}))}
3	2	kmlem13 4757	. . 3 |- (A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)) <-> A.x(-. E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) -> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!v v e. (z i^i y))))
4		kmlem8 4752	. . . 4 |- ((-. E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) -> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!v v e. (z i^i y))) <-> (E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))))
5	4	albii 997	. . 3 |- (A.x(-. E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) -> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!v v e. (z i^i y))) <-> A.x(E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))))
6	3, 5	bitr 173	. 2 |- (A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)) <-> A.x(E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))))
7		df-ne 1584	. . . . . . . 8 |- (y =/= v <-> -. y = v)
8	7	bicomi 172	. . . . . . 7 |- (-. y = v <-> y =/= v)
9	8	anbi2i 480	. . . . . 6 |- ((v e. x /\ -. y = v) <-> (v e. x /\ y =/= v))
10	9	anbi1i 481	. . . . 5 |- (((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v) <-> ((v e. x /\ y =/= v) /\ z e. v))
11	10	imbi2i 185	. . . 4 |- ((z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v)) <-> (z e. y -> ((v e. x /\ y =/= v) /\ z e. v)))
12		pm4.2 170	. . . 4 |- ((z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))) <-> (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))
13		pm4.2 170	. . . 4 |- (A.z e. x E!v v e. (z i^i y) <-> A.z e. x E!v v e. (z i^i y))
14	11, 12, 13	kmlem16 4760	. . 3 |- ((E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))) <-> E.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))
15	14	albii 997	. 2 |- (A.x(E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))) <-> A.xE.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))
16	1, 6, 15	3bitr 177	1 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  E!weu 1378  {cab 1461   =/= wne 1582  A.wral 1642  E.wrex 1643   \ cdif 2040   i^i cin 2042   (_ wss 2043  (/)c0 2276  {csn 2405  U.cuni 2498  dom cdm 3165   Fn wfn 3172

This theorem is referenced by:  ackm 4762

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain