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Theorem ackbij1lem10 8111
Description: Lemma for ackbij1 8120. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem10  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) --> om
Distinct variable group:    x, F, y

Proof of Theorem ackbij1lem10
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
2 inss2 3564 . . . . 5  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
32sseli 3346 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
4 snfi 7189 . . . . . 6  |-  { y }  e.  Fin
5 inss1 3563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
~P om
65sseli 3346 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P om )
76elpwid 3810 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  x  C_ 
om )
8 onfin2 7300 . . . . . . . . . 10  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
9 inss2 3564 . . . . . . . . . 10  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
108, 9eqsstri 3380 . . . . . . . . 9  |-  om  C_  Fin
117, 10syl6ss 3362 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  x  C_ 
Fin )
1211sselda 3350 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  Fin )
13 pwfi 7404 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Fin  <->  ~P y  e.  Fin )
1412, 13sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ~P y  e.  Fin )
15 xpfi 7380 . . . . . 6  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  ~P y  e. 
Fin )  ->  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
164, 14, 15sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( {
y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
1716ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A. y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
18 iunfi 7396 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  A. y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )  ->  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
193, 17, 18syl2anc 644 . . 3  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
20 ficardom 7850 . . 3  |-  ( U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  ->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) )  e. 
om )
2119, 20syl 16 . 2  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( card `  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y
) )  e.  om )
221, 21fmpti 5894 1  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) --> om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    i^i cin 3321   ~Pcpw 3801   {csn 3816   U_ciun 4095    e. cmpt 4268   Oncon0 4583   omcom 4847    X. cxp 4878   -->wf 5452   ` cfv 5456   Fincfn 7111   cardccrd 7824
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  8113  ackbij1lem13  8114  ackbij1lem14  8115  ackbij1lem15  8116  ackbij1lem16  8117  ackbij1lem17  8118  ackbij1lem18  8119  ackbij1b  8121
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828
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