MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem11 Unicode version

Theorem ackbij1lem11 8044
Description: Lemma for ackbij1 8052. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem11  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem ackbij1lem11
StepHypRef Expression
1 inss1 3505 . . . . . . 7  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
~P om
21sseli 3288 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  ~P om )
32elpwid 3752 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  C_ 
om )
4 sstr 3300 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  om )  ->  B  C_  om )
53, 4sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  B  C_  om )
6 ssexg 4291 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  _V )
7 elpwg 3750 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  ~P om  <->  B  C_  om )
)
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  ( B  e. 
~P om  <->  B  C_  om )
)
95, 8mpbird 224 . . 3  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  ~P om )
109ancoms 440 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  ~P om )
11 inss2 3506 . . . 4  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
1211sseli 3288 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  Fin )
13 ssfi 7266 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
1412, 13sylan 458 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
15 elin 3474 . 2  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  <->  ( B  e.  ~P om  /\  B  e.  Fin ) )
1610, 14, 15sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900    i^i cin 3263    C_ wss 3264   ~Pcpw 3743   {csn 3758   U_ciun 4036    e. cmpt 4208   omcom 4786    X. cxp 4817   ` cfv 5395   Fincfn 7046   cardccrd 7756
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  8045  ackbij1lem15  8048  ackbij1lem16  8049  ackbij1lem18  8051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-er 6842  df-en 7047  df-fin 7050
  Copyright terms: Public domain W3C validator