MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem13 Unicode version

Theorem ackbij1lem13 7874
Description: Lemma for ackbij1 7880. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem13  |-  ( F `
 (/) )  =  (/)
Distinct variable group:    x, F, y

Proof of Theorem ackbij1lem13
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
21ackbij1lem10 7871 . . . . 5  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) --> om
3 peano1 4691 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
42, 3f0cli 5687 . . . 4  |-  ( F `
 (/) )  e.  om
5 nna0 6618 . . . 4  |-  ( ( F `  (/) )  e. 
om  ->  ( ( F `
 (/) )  +o  (/) )  =  ( F `  (/) ) )
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( F `  (/) )  +o  (/) )  =  ( F `  (/) )
7 un0 3492 . . . 4  |-  ( (/)  u.  (/) )  =  (/)
87fveq2i 5544 . . 3  |-  ( F `
 ( (/)  u.  (/) ) )  =  ( F `  (/) )
9 ackbij1lem3 7864 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  om  ->  (/)  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
103, 9ax-mp 8 . . . 4  |-  (/)  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
11 in0 3493 . . . 4  |-  ( (/)  i^i  (/) )  =  (/)
121ackbij1lem9 7870 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  (/) 
e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( (/) 
i^i  (/) )  =  (/) )  ->  ( F `  ( (/)  u.  (/) ) )  =  ( ( F `
 (/) )  +o  ( F `  (/) ) ) )
1310, 10, 11, 12mp3an 1277 . . 3  |-  ( F `
 ( (/)  u.  (/) ) )  =  ( ( F `
 (/) )  +o  ( F `  (/) ) )
146, 8, 133eqtr2ri 2323 . 2  |-  ( ( F `  (/) )  +o  ( F `  (/) ) )  =  ( ( F `
 (/) )  +o  (/) )
15 nnacan 6642 . . 3  |-  ( ( ( F `  (/) )  e. 
om  /\  ( F `  (/) )  e.  om  /\  (/)  e.  om )  -> 
( ( ( F `
 (/) )  +o  ( F `  (/) ) )  =  ( ( F `
 (/) )  +o  (/) )  <->  ( F `  (/) )  =  (/) ) )
164, 4, 3, 15mp3an 1277 . 2  |-  ( ( ( F `  (/) )  +o  ( F `  (/) ) )  =  ( ( F `
 (/) )  +o  (/) )  <->  ( F `  (/) )  =  (/) )
1714, 16mpbi 199 1  |-  ( F `
 (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696    u. cun 3163    i^i cin 3164   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U_ciun 3921    e. cmpt 4093   omcom 4672    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    +o coa 6492   Fincfn 6879   cardccrd 7584
This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  7875  ackbij1  7880
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810
  Copyright terms: Public domain W3C validator