MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem15 Structured version   Unicode version

Theorem ackbij1lem15 8152
Description: Lemma for ackbij1 8156. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem15  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  -.  ( F `  ( A  i^i  suc  c )
)  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  c ) ) )
Distinct variable groups:    F, c, x, y    A, c, x, y    B, c, x, y

Proof of Theorem ackbij1lem15
StepHypRef Expression
1 simpr1 964 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  c  e.  om )
2 ackbij1lem3 8140 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  om  ->  c  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  c  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
4 simpr3 966 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  -.  c  e.  B )
5 ackbij1lem1 8138 . . . . . . . 8  |-  ( -.  c  e.  B  -> 
( B  i^i  suc  c )  =  ( B  i^i  c ) )
64, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( B  i^i  suc  c )  =  ( B  i^i  c ) )
7 inss2 3550 . . . . . . 7  |-  ( B  i^i  c )  C_  c
86, 7syl6eqss 3387 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( B  i^i  suc  c )  C_  c )
9 ackbij.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
109ackbij1lem12 8149 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  ( B  i^i  suc  c )  C_  c
)  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  c ) )  C_  ( F `  c ) )
113, 8, 10syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  c ) ) 
C_  ( F `  c ) )
129ackbij1lem10 8147 . . . . . . . . 9  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) --> om
1312ffvelrni 5905 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  c )  e.  om )
14 nnon 4886 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  c )  e.  om  ->  ( F `  c )  e.  On )
15 onpsssuc 4834 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  c )  e.  On  ->  ( F `  c )  C.  suc  ( F `  c ) )
163, 13, 14, 154syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  c )  C.  suc  ( F `  c ) )
179ackbij1lem14 8151 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  om  ->  ( F `  { c } )  =  suc  ( F `  c ) )
181, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  { c } )  =  suc  ( F `  c ) )
1918psseq2d 3429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  (
( F `  c
)  C.  ( F `  { c } )  <-> 
( F `  c
)  C.  suc  ( F `
 c ) ) )
2016, 19mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  c )  C.  ( F `  {
c } ) )
21 simpll 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
22 inss1 3549 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  suc  c )  C_  A
239ackbij1lem11 8148 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  suc  c )  C_  A
)  ->  ( A  i^i  suc  c )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
2421, 22, 23sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( A  i^i  suc  c )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
25 ssun1 3499 . . . . . . . 8  |-  { c }  C_  ( {
c }  u.  ( A  i^i  c ) )
26 simpr2 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  c  e.  A )
27 ackbij1lem2 8139 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  A  ->  ( A  i^i  suc  c )  =  ( { c }  u.  ( A  i^i  c ) ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( A  i^i  suc  c )  =  ( { c }  u.  ( A  i^i  c ) ) )
2925, 28syl5sseqr 3386 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  { c }  C_  ( A  i^i  suc  c ) )
309ackbij1lem12 8149 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  suc  c )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  { c } 
C_  ( A  i^i  suc  c ) )  -> 
( F `  {
c } )  C_  ( F `  ( A  i^i  suc  c )
) )
3124, 29, 30syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  { c } )  C_  ( F `  ( A  i^i  suc  c ) ) )
3220, 31psssstrd 3445 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  c )  C.  ( F `  ( A  i^i  suc  c )
) )
3311, 32sspsstrd 3444 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  c ) ) 
C.  ( F `  ( A  i^i  suc  c
) ) )
3433pssned 3434 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  c ) )  =/=  ( F `  ( A  i^i  suc  c
) ) )
3534necomd 2694 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  c ) )  =/=  ( F `  ( B  i^i  suc  c
) ) )
3635neneqd 2624 1  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  -.  ( F `  ( A  i^i  suc  c )
)  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  c ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1654    e. wcel 1728    u. cun 3307    i^i cin 3308    C_ wss 3309    C. wpss 3310   ~Pcpw 3828   {csn 3843   U_ciun 4122    e. cmpt 4297   Oncon0 4616   suc csuc 4618   omcom 4880    X. cxp 4911   ` cfv 5489   Fincfn 7145   cardccrd 7860
This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  8153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-2o 6761  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-card 7864  df-cda 8086
  Copyright terms: Public domain W3C validator