MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem18 Unicode version

Theorem ackbij1lem18 7879
Description: Lemma for ackbij1 7880. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem18  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  E. b  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ( F `  b )  =  suc  ( F `  A ) )
Distinct variable groups:    F, b, x, y    A, b, x, y

Proof of Theorem ackbij1lem18
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3316 . . . 4  |-  ( A 
\  |^| ( om  \  A
) )  C_  A
2 ackbij.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
32ackbij1lem11 7872 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  C_  A )  ->  ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
41, 3mpan2 652 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
5 difss 3316 . . . . 5  |-  ( om 
\  A )  C_  om
6 omsson 4676 . . . . . . 7  |-  om  C_  On
75, 6sstri 3201 . . . . . 6  |-  ( om 
\  A )  C_  On
8 ominf 7091 . . . . . . . 8  |-  -.  om  e.  Fin
9 inss2 3403 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
109sseli 3189 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  Fin )
11 difinf 7143 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  om  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  -.  ( om  \  A
)  e.  Fin )
128, 10, 11sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  -.  ( om  \  A )  e.  Fin )
13 0fin 7103 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  Fin
14 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  \  A )  =  (/)  ->  ( ( om  \  A )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
1513, 14mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( om  \  A )  =  (/)  ->  ( om 
\  A )  e. 
Fin )
1615necon3bi 2500 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( om  \  A
)  e.  Fin  ->  ( om  \  A )  =/=  (/) )
1712, 16syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( om  \  A )  =/=  (/) )
18 onint 4602 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  \  A
)  C_  On  /\  ( om  \  A )  =/=  (/) )  ->  |^| ( om  \  A )  e.  ( om  \  A
) )
197, 17, 18sylancr 644 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  |^| ( om  \  A )  e.  ( om  \  A
) )
205, 19sseldi 3191 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  |^| ( om  \  A )  e. 
om )
21 ackbij1lem4 7865 . . . 4  |-  ( |^| ( om  \  A )  e.  om  ->  { |^| ( om  \  A ) }  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
2220, 21syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  { |^| ( om  \  A ) }  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
23 ackbij1lem6 7867 . . 3  |-  ( ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  { |^| ( om 
\  A ) }  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  -> 
( ( A  \  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
244, 22, 23syl2anc 642 . 2  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  u.  { |^| ( om  \  A ) } )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
25 eldifn 3312 . . . . . . 7  |-  ( |^| ( om  \  A )  e.  ( om  \  A
)  ->  -.  |^| ( om  \  A )  e.  A )
2619, 25syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  -.  |^| ( om  \  A
)  e.  A )
27 disjsn 3706 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  { |^| ( om  \  A ) } )  =  (/)  <->  -.  |^| ( om  \  A
)  e.  A )
2826, 27sylibr 203 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( A  i^i  { |^| ( om  \  A ) } )  =  (/) )
29 ssdisj 3517 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  C_  A  /\  ( A  i^i  { |^| ( om  \  A ) } )  =  (/) )  ->  ( ( A 
\  |^| ( om  \  A
) )  i^i  { |^| ( om  \  A
) } )  =  (/) )
301, 28, 29sylancr 644 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  i^i  { |^| ( om  \  A ) } )  =  (/) )
312ackbij1lem9 7870 . . . 4  |-  ( ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  { |^| ( om 
\  A ) }  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  i^i  { |^| ( om  \  A ) } )  =  (/) )  ->  ( F `  ( ( A  \  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } ) )  =  ( ( F `
 ( A  \  |^| ( om  \  A
) ) )  +o  ( F `  { |^| ( om  \  A
) } ) ) )
324, 22, 30, 31syl3anc 1182 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( ( A  \  |^| ( om 
\  A ) )  u.  { |^| ( om  \  A ) } ) )  =  ( ( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  ( F `
 { |^| ( om  \  A ) } ) ) )
332ackbij1lem14 7875 . . . . 5  |-  ( |^| ( om  \  A )  e.  om  ->  ( F `  { |^| ( om  \  A ) } )  =  suc  ( F `  |^| ( om 
\  A ) ) )
3420, 33syl 15 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  { |^| ( om  \  A ) } )  =  suc  ( F `  |^| ( om 
\  A ) ) )
3534oveq2d 5890 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  ( F `
 { |^| ( om  \  A ) } ) )  =  ( ( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  suc  ( F `  |^| ( om 
\  A ) ) ) )
362ackbij1lem10 7871 . . . . . . 7  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) --> om
3736ffvelrni 5680 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( A  \ 
|^| ( om  \  A
) ) )  e. 
om )
384, 37syl 15 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( A  \ 
|^| ( om  \  A
) ) )  e. 
om )
39 ackbij1lem3 7864 . . . . . . 7  |-  ( |^| ( om  \  A )  e.  om  ->  |^| ( om  \  A )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
4020, 39syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  |^| ( om  \  A )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
4136ffvelrni 5680 . . . . . 6  |-  ( |^| ( om  \  A )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  |^| ( om 
\  A ) )  e.  om )
4240, 41syl 15 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  |^| ( om 
\  A ) )  e.  om )
43 nnasuc 6620 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  e.  om  /\  ( F `  |^| ( om  \  A ) )  e.  om )  -> 
( ( F `  ( A  \  |^| ( om  \  A ) ) )  +o  suc  ( F `  |^| ( om 
\  A ) ) )  =  suc  (
( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  ( F `
 |^| ( om  \  A
) ) ) )
4438, 42, 43syl2anc 642 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  suc  ( F `  |^| ( om 
\  A ) ) )  =  suc  (
( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  ( F `
 |^| ( om  \  A
) ) ) )
45 incom 3374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  i^i  |^| ( om  \  A
) )  =  (
|^| ( om  \  A
)  i^i  ( A  \ 
|^| ( om  \  A
) ) )
46 disjdif 3539 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| ( om  \  A )  i^i  ( A  \  |^| ( om  \  A
) ) )  =  (/)
4745, 46eqtri 2316 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  i^i  |^| ( om  \  A
) )  =  (/)
4847a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  i^i  |^| ( om  \  A ) )  =  (/) )
492ackbij1lem9 7870 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  |^| ( om  \  A
)  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  ( ( A  \  |^| ( om  \  A
) )  i^i  |^| ( om  \  A ) )  =  (/) )  -> 
( F `  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  u.  |^| ( om  \  A ) ) )  =  ( ( F `  ( A 
\  |^| ( om  \  A
) ) )  +o  ( F `  |^| ( om  \  A ) ) ) )
504, 40, 48, 49syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( ( A  \  |^| ( om 
\  A ) )  u.  |^| ( om  \  A
) ) )  =  ( ( F `  ( A  \  |^| ( om  \  A ) ) )  +o  ( F `
 |^| ( om  \  A
) ) ) )
51 uncom 3332 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  u.  |^| ( om  \  A
) )  =  (
|^| ( om  \  A
)  u.  ( A 
\  |^| ( om  \  A
) ) )
52 onnmin 4610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( om  \  A
)  C_  On  /\  a  e.  ( om  \  A
) )  ->  -.  a  e.  |^| ( om 
\  A ) )
537, 52mpan 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( om  \  A
)  ->  -.  a  e.  |^| ( om  \  A
) )
5453con2i 112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  |^| ( om  \  A
)  ->  -.  a  e.  ( om  \  A
) )
5554adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  a  e.  |^| ( om  \  A ) )  ->  -.  a  e.  ( om  \  A ) )
56 ordom 4681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Ord  om
57 ordelss 4424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  om  /\  |^| ( om  \  A )  e.  om )  ->  |^| ( om  \  A
)  C_  om )
5856, 20, 57sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  |^| ( om  \  A )  C_  om )
5958sselda 3193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  a  e.  |^| ( om  \  A ) )  ->  a  e.  om )
60 eldif 3175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( om  \  A
)  <->  ( a  e. 
om  /\  -.  a  e.  A ) )
6160simplbi2 608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  om  ->  ( -.  a  e.  A  ->  a  e.  ( om 
\  A ) ) )
6261orrd 367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  om  ->  (
a  e.  A  \/  a  e.  ( om  \  A ) ) )
6362orcomd 377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  om  ->  (
a  e.  ( om 
\  A )  \/  a  e.  A ) )
6459, 63syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  a  e.  |^| ( om  \  A ) )  ->  ( a  e.  ( om  \  A
)  \/  a  e.  A ) )
65 orel1 371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  a  e.  ( om 
\  A )  -> 
( ( a  e.  ( om  \  A
)  \/  a  e.  A )  ->  a  e.  A ) )
6655, 64, 65sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  a  e.  |^| ( om  \  A ) )  ->  a  e.  A
)
6766ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
a  e.  |^| ( om  \  A )  -> 
a  e.  A ) )
6867ssrdv 3198 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  |^| ( om  \  A )  C_  A )
69 undif 3547 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| ( om  \  A ) 
C_  A  <->  ( |^| ( om  \  A )  u.  ( A  \  |^| ( om  \  A
) ) )  =  A )
7068, 69sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( |^| ( om  \  A
)  u.  ( A 
\  |^| ( om  \  A
) ) )  =  A )
7151, 70syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  u.  |^| ( om  \  A ) )  =  A )
7271fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( ( A  \  |^| ( om 
\  A ) )  u.  |^| ( om  \  A
) ) )  =  ( F `  A
) )
7350, 72eqtr3d 2330 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  ( F `
 |^| ( om  \  A
) ) )  =  ( F `  A
) )
74 suceq 4473 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  ( F `
 |^| ( om  \  A
) ) )  =  ( F `  A
)  ->  suc  ( ( F `  ( A 
\  |^| ( om  \  A
) ) )  +o  ( F `  |^| ( om  \  A ) ) )  =  suc  ( F `  A ) )
7573, 74syl 15 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  suc  ( ( F `  ( A  \  |^| ( om  \  A ) ) )  +o  ( F `
 |^| ( om  \  A
) ) )  =  suc  ( F `  A ) )
7644, 75eqtrd 2328 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  suc  ( F `  |^| ( om 
\  A ) ) )  =  suc  ( F `  A )
)
7732, 35, 763eqtrd 2332 . 2  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( ( A  \  |^| ( om 
\  A ) )  u.  { |^| ( om  \  A ) } ) )  =  suc  ( F `  A ) )
78 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( b  =  ( ( A 
\  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } )  -> 
( F `  b
)  =  ( F `
 ( ( A 
\  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } ) ) )
7978eqeq1d 2304 . . 3  |-  ( b  =  ( ( A 
\  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } )  -> 
( ( F `  b )  =  suc  ( F `  A )  <-> 
( F `  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  u.  { |^| ( om  \  A ) } ) )  =  suc  ( F `  A ) ) )
8079rspcev 2897 . 2  |-  ( ( ( ( A  \  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( F `
 ( ( A 
\  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } ) )  =  suc  ( F `
 A ) )  ->  E. b  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ( F `  b )  =  suc  ( F `  A ) )
8124, 77, 80syl2anc 642 1  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  E. b  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ( F `  b )  =  suc  ( F `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   |^|cint 3878   U_ciun 3921    e. cmpt 4093   Ord word 4407   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4672    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    +o coa 6492   Fincfn 6879   cardccrd 7584
This theorem is referenced by:  ackbij1  7880
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810
  Copyright terms: Public domain W3C validator