MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem18 Structured version   Unicode version

Theorem ackbij1lem18 8109
Description: Lemma for ackbij1 8110. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem18  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  E. b  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ( F `  b )  =  suc  ( F `  A ) )
Distinct variable groups:    F, b, x, y    A, b, x, y

Proof of Theorem ackbij1lem18
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3466 . . . 4  |-  ( A 
\  |^| ( om  \  A
) )  C_  A
2 ackbij.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
32ackbij1lem11 8102 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  C_  A )  ->  ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
41, 3mpan2 653 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
5 difss 3466 . . . . . . 7  |-  ( om 
\  A )  C_  om
6 omsson 4841 . . . . . . 7  |-  om  C_  On
75, 6sstri 3349 . . . . . 6  |-  ( om 
\  A )  C_  On
8 ominf 7313 . . . . . . . 8  |-  -.  om  e.  Fin
9 inss2 3554 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
109sseli 3336 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  Fin )
11 difinf 7369 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  om  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  -.  ( om  \  A
)  e.  Fin )
128, 10, 11sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  -.  ( om  \  A )  e.  Fin )
13 0fin 7328 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  Fin
14 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  \  A )  =  (/)  ->  ( ( om  \  A )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
1513, 14mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( om  \  A )  =  (/)  ->  ( om 
\  A )  e. 
Fin )
1615necon3bi 2639 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( om  \  A
)  e.  Fin  ->  ( om  \  A )  =/=  (/) )
1712, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( om  \  A )  =/=  (/) )
18 onint 4767 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  \  A
)  C_  On  /\  ( om  \  A )  =/=  (/) )  ->  |^| ( om  \  A )  e.  ( om  \  A
) )
197, 17, 18sylancr 645 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  |^| ( om  \  A )  e.  ( om  \  A
) )
2019eldifad 3324 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  |^| ( om  \  A )  e. 
om )
21 ackbij1lem4 8095 . . . 4  |-  ( |^| ( om  \  A )  e.  om  ->  { |^| ( om  \  A ) }  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  { |^| ( om  \  A ) }  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
23 ackbij1lem6 8097 . . 3  |-  ( ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  { |^| ( om 
\  A ) }  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  -> 
( ( A  \  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
244, 22, 23syl2anc 643 . 2  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  u.  { |^| ( om  \  A ) } )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
2519eldifbd 3325 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  -.  |^| ( om  \  A
)  e.  A )
26 disjsn 3860 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  { |^| ( om  \  A ) } )  =  (/)  <->  -.  |^| ( om  \  A
)  e.  A )
2725, 26sylibr 204 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( A  i^i  { |^| ( om  \  A ) } )  =  (/) )
28 ssdisj 3669 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  C_  A  /\  ( A  i^i  { |^| ( om  \  A ) } )  =  (/) )  ->  ( ( A 
\  |^| ( om  \  A
) )  i^i  { |^| ( om  \  A
) } )  =  (/) )
291, 27, 28sylancr 645 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  i^i  { |^| ( om  \  A ) } )  =  (/) )
302ackbij1lem9 8100 . . . 4  |-  ( ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  { |^| ( om 
\  A ) }  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  i^i  { |^| ( om  \  A ) } )  =  (/) )  ->  ( F `  ( ( A  \  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } ) )  =  ( ( F `
 ( A  \  |^| ( om  \  A
) ) )  +o  ( F `  { |^| ( om  \  A
) } ) ) )
314, 22, 29, 30syl3anc 1184 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( ( A  \  |^| ( om 
\  A ) )  u.  { |^| ( om  \  A ) } ) )  =  ( ( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  ( F `
 { |^| ( om  \  A ) } ) ) )
322ackbij1lem14 8105 . . . . 5  |-  ( |^| ( om  \  A )  e.  om  ->  ( F `  { |^| ( om  \  A ) } )  =  suc  ( F `  |^| ( om 
\  A ) ) )
3320, 32syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  { |^| ( om  \  A ) } )  =  suc  ( F `  |^| ( om 
\  A ) ) )
3433oveq2d 6089 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  ( F `
 { |^| ( om  \  A ) } ) )  =  ( ( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  suc  ( F `  |^| ( om 
\  A ) ) ) )
352ackbij1lem10 8101 . . . . . . 7  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) --> om
3635ffvelrni 5861 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( A  \ 
|^| ( om  \  A
) ) )  e. 
om )
374, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( A  \ 
|^| ( om  \  A
) ) )  e. 
om )
38 ackbij1lem3 8094 . . . . . . 7  |-  ( |^| ( om  \  A )  e.  om  ->  |^| ( om  \  A )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
3920, 38syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  |^| ( om  \  A )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
4035ffvelrni 5861 . . . . . 6  |-  ( |^| ( om  \  A )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  |^| ( om 
\  A ) )  e.  om )
4139, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  |^| ( om 
\  A ) )  e.  om )
42 nnasuc 6841 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  e.  om  /\  ( F `  |^| ( om  \  A ) )  e.  om )  -> 
( ( F `  ( A  \  |^| ( om  \  A ) ) )  +o  suc  ( F `  |^| ( om 
\  A ) ) )  =  suc  (
( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  ( F `
 |^| ( om  \  A
) ) ) )
4337, 41, 42syl2anc 643 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  suc  ( F `  |^| ( om 
\  A ) ) )  =  suc  (
( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  ( F `
 |^| ( om  \  A
) ) ) )
44 incom 3525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  i^i  |^| ( om  \  A
) )  =  (
|^| ( om  \  A
)  i^i  ( A  \ 
|^| ( om  \  A
) ) )
45 disjdif 3692 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| ( om  \  A )  i^i  ( A  \  |^| ( om  \  A
) ) )  =  (/)
4644, 45eqtri 2455 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  i^i  |^| ( om  \  A
) )  =  (/)
4746a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  i^i  |^| ( om  \  A ) )  =  (/) )
482ackbij1lem9 8100 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  |^| ( om  \  A
)  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  ( ( A  \  |^| ( om  \  A
) )  i^i  |^| ( om  \  A ) )  =  (/) )  -> 
( F `  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  u.  |^| ( om  \  A ) ) )  =  ( ( F `  ( A 
\  |^| ( om  \  A
) ) )  +o  ( F `  |^| ( om  \  A ) ) ) )
494, 39, 47, 48syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( ( A  \  |^| ( om 
\  A ) )  u.  |^| ( om  \  A
) ) )  =  ( ( F `  ( A  \  |^| ( om  \  A ) ) )  +o  ( F `
 |^| ( om  \  A
) ) ) )
50 uncom 3483 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  u.  |^| ( om  \  A
) )  =  (
|^| ( om  \  A
)  u.  ( A 
\  |^| ( om  \  A
) ) )
51 onnmin 4775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( om  \  A
)  C_  On  /\  a  e.  ( om  \  A
) )  ->  -.  a  e.  |^| ( om 
\  A ) )
527, 51mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( om  \  A
)  ->  -.  a  e.  |^| ( om  \  A
) )
5352con2i 114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  |^| ( om  \  A
)  ->  -.  a  e.  ( om  \  A
) )
5453adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  a  e.  |^| ( om  \  A ) )  ->  -.  a  e.  ( om  \  A ) )
55 ordom 4846 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Ord  om
56 ordelss 4589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  om  /\  |^| ( om  \  A )  e.  om )  ->  |^| ( om  \  A
)  C_  om )
5755, 20, 56sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  |^| ( om  \  A )  C_  om )
5857sselda 3340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  a  e.  |^| ( om  \  A ) )  ->  a  e.  om )
59 eldif 3322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( om  \  A
)  <->  ( a  e. 
om  /\  -.  a  e.  A ) )
6059simplbi2 609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  om  ->  ( -.  a  e.  A  ->  a  e.  ( om 
\  A ) ) )
6160orrd 368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  om  ->  (
a  e.  A  \/  a  e.  ( om  \  A ) ) )
6261orcomd 378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  om  ->  (
a  e.  ( om 
\  A )  \/  a  e.  A ) )
6358, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  a  e.  |^| ( om  \  A ) )  ->  ( a  e.  ( om  \  A
)  \/  a  e.  A ) )
64 orel1 372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  a  e.  ( om 
\  A )  -> 
( ( a  e.  ( om  \  A
)  \/  a  e.  A )  ->  a  e.  A ) )
6554, 63, 64sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  a  e.  |^| ( om  \  A ) )  ->  a  e.  A
)
6665ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
a  e.  |^| ( om  \  A )  -> 
a  e.  A ) )
6766ssrdv 3346 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  |^| ( om  \  A )  C_  A )
68 undif 3700 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| ( om  \  A ) 
C_  A  <->  ( |^| ( om  \  A )  u.  ( A  \  |^| ( om  \  A
) ) )  =  A )
6967, 68sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( |^| ( om  \  A
)  u.  ( A 
\  |^| ( om  \  A
) ) )  =  A )
7050, 69syl5eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  u.  |^| ( om  \  A ) )  =  A )
7170fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( ( A  \  |^| ( om 
\  A ) )  u.  |^| ( om  \  A
) ) )  =  ( F `  A
) )
7249, 71eqtr3d 2469 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  ( F `
 |^| ( om  \  A
) ) )  =  ( F `  A
) )
73 suceq 4638 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  ( F `
 |^| ( om  \  A
) ) )  =  ( F `  A
)  ->  suc  ( ( F `  ( A 
\  |^| ( om  \  A
) ) )  +o  ( F `  |^| ( om  \  A ) ) )  =  suc  ( F `  A ) )
7472, 73syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  suc  ( ( F `  ( A  \  |^| ( om  \  A ) ) )  +o  ( F `
 |^| ( om  \  A
) ) )  =  suc  ( F `  A ) )
7543, 74eqtrd 2467 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  suc  ( F `  |^| ( om 
\  A ) ) )  =  suc  ( F `  A )
)
7631, 34, 753eqtrd 2471 . 2  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( ( A  \  |^| ( om 
\  A ) )  u.  { |^| ( om  \  A ) } ) )  =  suc  ( F `  A ) )
77 fveq2 5720 . . . 4  |-  ( b  =  ( ( A 
\  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } )  -> 
( F `  b
)  =  ( F `
 ( ( A 
\  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } ) ) )
7877eqeq1d 2443 . . 3  |-  ( b  =  ( ( A 
\  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } )  -> 
( ( F `  b )  =  suc  ( F `  A )  <-> 
( F `  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  u.  { |^| ( om  \  A ) } ) )  =  suc  ( F `  A ) ) )
7978rspcev 3044 . 2  |-  ( ( ( ( A  \  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( F `
 ( ( A 
\  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } ) )  =  suc  ( F `
 A ) )  ->  E. b  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ( F `  b )  =  suc  ( F `  A ) )
8024, 76, 79syl2anc 643 1  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  E. b  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ( F `  b )  =  suc  ( F `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   |^|cint 4042   U_ciun 4085    e. cmpt 4258   Ord word 4572   Oncon0 4573   suc csuc 4575   omcom 4837    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    +o coa 6713   Fincfn 7101   cardccrd 7814
This theorem is referenced by:  ackbij1  8110
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-cda 8040
  Copyright terms: Public domain W3C validator