MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem18 Unicode version

Theorem ackbij1lem18 8052
Description: Lemma for ackbij1 8053. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem18  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  E. b  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ( F `  b )  =  suc  ( F `  A ) )
Distinct variable groups:    F, b, x, y    A, b, x, y

Proof of Theorem ackbij1lem18
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3419 . . . 4  |-  ( A 
\  |^| ( om  \  A
) )  C_  A
2 ackbij.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
32ackbij1lem11 8045 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  C_  A )  ->  ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
41, 3mpan2 653 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
5 difss 3419 . . . . . . 7  |-  ( om 
\  A )  C_  om
6 omsson 4791 . . . . . . 7  |-  om  C_  On
75, 6sstri 3302 . . . . . 6  |-  ( om 
\  A )  C_  On
8 ominf 7259 . . . . . . . 8  |-  -.  om  e.  Fin
9 inss2 3507 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
109sseli 3289 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  Fin )
11 difinf 7315 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  om  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  -.  ( om  \  A
)  e.  Fin )
128, 10, 11sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  -.  ( om  \  A )  e.  Fin )
13 0fin 7274 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  Fin
14 eleq1 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  \  A )  =  (/)  ->  ( ( om  \  A )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
1513, 14mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( om  \  A )  =  (/)  ->  ( om 
\  A )  e. 
Fin )
1615necon3bi 2593 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( om  \  A
)  e.  Fin  ->  ( om  \  A )  =/=  (/) )
1712, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( om  \  A )  =/=  (/) )
18 onint 4717 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  \  A
)  C_  On  /\  ( om  \  A )  =/=  (/) )  ->  |^| ( om  \  A )  e.  ( om  \  A
) )
197, 17, 18sylancr 645 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  |^| ( om  \  A )  e.  ( om  \  A
) )
2019eldifad 3277 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  |^| ( om  \  A )  e. 
om )
21 ackbij1lem4 8038 . . . 4  |-  ( |^| ( om  \  A )  e.  om  ->  { |^| ( om  \  A ) }  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  { |^| ( om  \  A ) }  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
23 ackbij1lem6 8040 . . 3  |-  ( ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  { |^| ( om 
\  A ) }  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  -> 
( ( A  \  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
244, 22, 23syl2anc 643 . 2  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  u.  { |^| ( om  \  A ) } )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
2519eldifbd 3278 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  -.  |^| ( om  \  A
)  e.  A )
26 disjsn 3813 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  { |^| ( om  \  A ) } )  =  (/)  <->  -.  |^| ( om  \  A
)  e.  A )
2725, 26sylibr 204 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( A  i^i  { |^| ( om  \  A ) } )  =  (/) )
28 ssdisj 3622 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  C_  A  /\  ( A  i^i  { |^| ( om  \  A ) } )  =  (/) )  ->  ( ( A 
\  |^| ( om  \  A
) )  i^i  { |^| ( om  \  A
) } )  =  (/) )
291, 27, 28sylancr 645 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  i^i  { |^| ( om  \  A ) } )  =  (/) )
302ackbij1lem9 8043 . . . 4  |-  ( ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  { |^| ( om 
\  A ) }  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  i^i  { |^| ( om  \  A ) } )  =  (/) )  ->  ( F `  ( ( A  \  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } ) )  =  ( ( F `
 ( A  \  |^| ( om  \  A
) ) )  +o  ( F `  { |^| ( om  \  A
) } ) ) )
314, 22, 29, 30syl3anc 1184 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( ( A  \  |^| ( om 
\  A ) )  u.  { |^| ( om  \  A ) } ) )  =  ( ( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  ( F `
 { |^| ( om  \  A ) } ) ) )
322ackbij1lem14 8048 . . . . 5  |-  ( |^| ( om  \  A )  e.  om  ->  ( F `  { |^| ( om  \  A ) } )  =  suc  ( F `  |^| ( om 
\  A ) ) )
3320, 32syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  { |^| ( om  \  A ) } )  =  suc  ( F `  |^| ( om 
\  A ) ) )
3433oveq2d 6038 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  ( F `
 { |^| ( om  \  A ) } ) )  =  ( ( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  suc  ( F `  |^| ( om 
\  A ) ) ) )
352ackbij1lem10 8044 . . . . . . 7  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) --> om
3635ffvelrni 5810 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( A  \ 
|^| ( om  \  A
) ) )  e. 
om )
374, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( A  \ 
|^| ( om  \  A
) ) )  e. 
om )
38 ackbij1lem3 8037 . . . . . . 7  |-  ( |^| ( om  \  A )  e.  om  ->  |^| ( om  \  A )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
3920, 38syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  |^| ( om  \  A )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
4035ffvelrni 5810 . . . . . 6  |-  ( |^| ( om  \  A )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  |^| ( om 
\  A ) )  e.  om )
4139, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  |^| ( om 
\  A ) )  e.  om )
42 nnasuc 6787 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  e.  om  /\  ( F `  |^| ( om  \  A ) )  e.  om )  -> 
( ( F `  ( A  \  |^| ( om  \  A ) ) )  +o  suc  ( F `  |^| ( om 
\  A ) ) )  =  suc  (
( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  ( F `
 |^| ( om  \  A
) ) ) )
4337, 41, 42syl2anc 643 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  suc  ( F `  |^| ( om 
\  A ) ) )  =  suc  (
( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  ( F `
 |^| ( om  \  A
) ) ) )
44 incom 3478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  i^i  |^| ( om  \  A
) )  =  (
|^| ( om  \  A
)  i^i  ( A  \ 
|^| ( om  \  A
) ) )
45 disjdif 3645 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| ( om  \  A )  i^i  ( A  \  |^| ( om  \  A
) ) )  =  (/)
4644, 45eqtri 2409 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  i^i  |^| ( om  \  A
) )  =  (/)
4746a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  i^i  |^| ( om  \  A ) )  =  (/) )
482ackbij1lem9 8043 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  |^| ( om  \  A
)  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  ( ( A  \  |^| ( om  \  A
) )  i^i  |^| ( om  \  A ) )  =  (/) )  -> 
( F `  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  u.  |^| ( om  \  A ) ) )  =  ( ( F `  ( A 
\  |^| ( om  \  A
) ) )  +o  ( F `  |^| ( om  \  A ) ) ) )
494, 39, 47, 48syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( ( A  \  |^| ( om 
\  A ) )  u.  |^| ( om  \  A
) ) )  =  ( ( F `  ( A  \  |^| ( om  \  A ) ) )  +o  ( F `
 |^| ( om  \  A
) ) ) )
50 uncom 3436 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  |^| ( om  \  A ) )  u.  |^| ( om  \  A
) )  =  (
|^| ( om  \  A
)  u.  ( A 
\  |^| ( om  \  A
) ) )
51 onnmin 4725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( om  \  A
)  C_  On  /\  a  e.  ( om  \  A
) )  ->  -.  a  e.  |^| ( om 
\  A ) )
527, 51mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( om  \  A
)  ->  -.  a  e.  |^| ( om  \  A
) )
5352con2i 114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  |^| ( om  \  A
)  ->  -.  a  e.  ( om  \  A
) )
5453adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  a  e.  |^| ( om  \  A ) )  ->  -.  a  e.  ( om  \  A ) )
55 ordom 4796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Ord  om
56 ordelss 4540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  om  /\  |^| ( om  \  A )  e.  om )  ->  |^| ( om  \  A
)  C_  om )
5755, 20, 56sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  |^| ( om  \  A )  C_  om )
5857sselda 3293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  a  e.  |^| ( om  \  A ) )  ->  a  e.  om )
59 eldif 3275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( om  \  A
)  <->  ( a  e. 
om  /\  -.  a  e.  A ) )
6059simplbi2 609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  om  ->  ( -.  a  e.  A  ->  a  e.  ( om 
\  A ) ) )
6160orrd 368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  om  ->  (
a  e.  A  \/  a  e.  ( om  \  A ) ) )
6261orcomd 378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  om  ->  (
a  e.  ( om 
\  A )  \/  a  e.  A ) )
6358, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  a  e.  |^| ( om  \  A ) )  ->  ( a  e.  ( om  \  A
)  \/  a  e.  A ) )
64 orel1 372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  a  e.  ( om 
\  A )  -> 
( ( a  e.  ( om  \  A
)  \/  a  e.  A )  ->  a  e.  A ) )
6554, 63, 64sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  a  e.  |^| ( om  \  A ) )  ->  a  e.  A
)
6665ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
a  e.  |^| ( om  \  A )  -> 
a  e.  A ) )
6766ssrdv 3299 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  |^| ( om  \  A )  C_  A )
68 undif 3653 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| ( om  \  A ) 
C_  A  <->  ( |^| ( om  \  A )  u.  ( A  \  |^| ( om  \  A
) ) )  =  A )
6967, 68sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( |^| ( om  \  A
)  u.  ( A 
\  |^| ( om  \  A
) ) )  =  A )
7050, 69syl5eq 2433 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  u.  |^| ( om  \  A ) )  =  A )
7170fveq2d 5674 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( ( A  \  |^| ( om 
\  A ) )  u.  |^| ( om  \  A
) ) )  =  ( F `  A
) )
7249, 71eqtr3d 2423 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  ( F `
 |^| ( om  \  A
) ) )  =  ( F `  A
) )
73 suceq 4589 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  ( F `
 |^| ( om  \  A
) ) )  =  ( F `  A
)  ->  suc  ( ( F `  ( A 
\  |^| ( om  \  A
) ) )  +o  ( F `  |^| ( om  \  A ) ) )  =  suc  ( F `  A ) )
7472, 73syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  suc  ( ( F `  ( A  \  |^| ( om  \  A ) ) )  +o  ( F `
 |^| ( om  \  A
) ) )  =  suc  ( F `  A ) )
7543, 74eqtrd 2421 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  (
( F `  ( A  \  |^| ( om 
\  A ) ) )  +o  suc  ( F `  |^| ( om 
\  A ) ) )  =  suc  ( F `  A )
)
7631, 34, 753eqtrd 2425 . 2  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( ( A  \  |^| ( om 
\  A ) )  u.  { |^| ( om  \  A ) } ) )  =  suc  ( F `  A ) )
77 fveq2 5670 . . . 4  |-  ( b  =  ( ( A 
\  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } )  -> 
( F `  b
)  =  ( F `
 ( ( A 
\  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } ) ) )
7877eqeq1d 2397 . . 3  |-  ( b  =  ( ( A 
\  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } )  -> 
( ( F `  b )  =  suc  ( F `  A )  <-> 
( F `  (
( A  \  |^| ( om  \  A ) )  u.  { |^| ( om  \  A ) } ) )  =  suc  ( F `  A ) ) )
7978rspcev 2997 . 2  |-  ( ( ( ( A  \  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( F `
 ( ( A 
\  |^| ( om  \  A
) )  u.  { |^| ( om  \  A
) } ) )  =  suc  ( F `
 A ) )  ->  E. b  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ( F `  b )  =  suc  ( F `  A ) )
8024, 76, 79syl2anc 643 1  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  E. b  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ( F `  b )  =  suc  ( F `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   E.wrex 2652    \ cdif 3262    u. cun 3263    i^i cin 3264    C_ wss 3265   (/)c0 3573   ~Pcpw 3744   {csn 3759   |^|cint 3994   U_ciun 4037    e. cmpt 4209   Ord word 4523   Oncon0 4524   suc csuc 4526   omcom 4787    X. cxp 4818   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    +o coa 6659   Fincfn 7047   cardccrd 7757
This theorem is referenced by:  ackbij1  8053
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-card 7761  df-cda 7983
  Copyright terms: Public domain W3C validator