MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem6 Unicode version

Theorem ackbij1lem6 8040
Description: Lemma for ackbij2 8058. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem6  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )

Proof of Theorem ackbij1lem6
StepHypRef Expression
1 inss1 3506 . . . . 5  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
~P om
21sseli 3289 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  ~P om )
31sseli 3289 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  B  e.  ~P om )
4 elpwi 3752 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P om  ->  A 
C_  om )
5 elpwi 3752 . . . . 5  |-  ( B  e.  ~P om  ->  B 
C_  om )
6 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  om  /\  B  C_ 
om )  ->  A  C_ 
om )
7 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  om  /\  B  C_ 
om )  ->  B  C_ 
om )
86, 7unssd 3468 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  om  /\  B  C_ 
om )  ->  ( A  u.  B )  C_ 
om )
94, 5, 8syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~P om  /\  B  e.  ~P om )  ->  ( A  u.  B )  C_  om )
102, 3, 9syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  C_  om )
11 inss2 3507 . . . . . 6  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
1211sseli 3289 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  Fin )
1311sseli 3289 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  B  e.  Fin )
14 unfi 7312 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
1512, 13, 14syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  Fin )
16 elpwg 3751 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  e.  Fin  ->  (
( A  u.  B
)  e.  ~P om  <->  ( A  u.  B ) 
C_  om ) )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( ( A  u.  B )  e.  ~P om  <->  ( A  u.  B )  C_  om )
)
1810, 17mpbird 224 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  ~P om )
19 elin 3475 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  <->  ( ( A  u.  B )  e.  ~P om  /\  ( A  u.  B )  e.  Fin ) )
2018, 15, 19sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717    u. cun 3263    i^i cin 3264    C_ wss 3265   ~Pcpw 3744   omcom 4787   Fincfn 7047
This theorem is referenced by:  ackbij1lem9  8043  ackbij1lem18  8052
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-fin 7051
  Copyright terms: Public domain W3C validator