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Theorem ackbij1lem9 8110
Description: Lemma for ackbij1 8120. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem9  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( F `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( F `  A )  +o  ( F `  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem ackbij1lem9
StepHypRef Expression
1 inss2 3564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
21sseli 3346 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  Fin )
323ad2ant1 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  A  e.  Fin )
4 snfi 7189 . . . . . . . . . 10  |-  { y }  e.  Fin
5 inss1 3563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
~P om
65sseli 3346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  ~P om )
76elpwid 3810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  C_ 
om )
873ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  A  C_  om )
9 onfin2 7300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
10 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
119, 10eqsstri 3380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  om  C_  Fin
128, 11syl6ss 3362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  A  C_  Fin )
1312sselda 3350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  Fin )
14 pwfi 7404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Fin  <->  ~P y  e.  Fin )
1513, 14sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  A )  ->  ~P y  e.  Fin )
16 xpfi 7380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  ~P y  e. 
Fin )  ->  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
174, 15, 16sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  A )  ->  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
1817ralrimiva 2791 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  A. y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
19 iunfi 7396 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )  ->  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
203, 18, 19syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
21 ficardid 7851 . . . . . . 7  |-  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  ->  ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  ~~  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y ) )
2220, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  ~~  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )
231sseli 3346 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  B  e.  Fin )
24233ad2ant2 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  B  e.  Fin )
255sseli 3346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  B  e.  ~P om )
2625elpwid 3810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  B  C_ 
om )
27263ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  B  C_  om )
2827, 11syl6ss 3362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  B  C_  Fin )
2928sselda 3350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  Fin )
3029, 14sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  B )  ->  ~P y  e.  Fin )
314, 30, 16sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  B )  ->  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
3231ralrimiva 2791 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  A. y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
33 iunfi 7396 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A. y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )  ->  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
3424, 32, 33syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
35 ficardid 7851 . . . . . . 7  |-  ( U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  ->  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) )  ~~  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )
3634, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) )  ~~  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) )
37 cdaen 8055 . . . . . 6  |-  ( ( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  ~~  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  /\  ( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) )  ~~  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) )  -> 
( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) 
~~  ( U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) ) )
3822, 36, 37syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) 
~~  ( U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) ) )
39 djudisj 5299 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  i^i  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  =  (/) )
40393ad2ant3 981 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  i^i  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  =  (/) )
41 cdaun 8054 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  /\ 
U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  /\  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
)  i^i  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) )  =  (/) )  ->  ( U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  ~~  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  u.  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) ) )
4220, 34, 40, 41syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  ~~  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  u.  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) ) )
43 iunxun 4174 . . . . . 6  |-  U_ y  e.  ( A  u.  B
) ( { y }  X.  ~P y
)  =  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  u.  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )
4442, 43syl6breqr 4254 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  ~~  U_ y  e.  ( A  u.  B ) ( { y }  X.  ~P y ) )
45 entr 7161 . . . . 5  |-  ( ( ( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) 
~~  ( U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  /\  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  ~~  U_ y  e.  ( A  u.  B ) ( { y }  X.  ~P y ) )  -> 
( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) 
~~  U_ y  e.  ( A  u.  B ) ( { y }  X.  ~P y ) )
4638, 44, 45syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) 
~~  U_ y  e.  ( A  u.  B ) ( { y }  X.  ~P y ) )
47 carden2b 7856 . . . 4  |-  ( ( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) 
~~  U_ y  e.  ( A  u.  B ) ( { y }  X.  ~P y )  ->  ( card `  (
( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) ) ) )  =  ( card `  U_ y  e.  ( A  u.  B
) ( { y }  X.  ~P y
) ) )
4846, 47syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  ( ( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) ) ) )  =  ( card `  U_ y  e.  ( A  u.  B
) ( { y }  X.  ~P y
) ) )
49 ficardom 7850 . . . . 5  |-  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  ->  ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  e. 
om )
5020, 49syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  e.  om )
51 ficardom 7850 . . . . 5  |-  ( U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  ->  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) )  e. 
om )
5234, 51syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) )  e.  om )
53 nnacda 8083 . . . 4  |-  ( ( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  e. 
om  /\  ( card ` 
U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  e. 
om )  ->  ( card `  ( ( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) )  =  ( (
card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  +o  ( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) ) ) )
5450, 52, 53syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  ( ( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) ) ) )  =  ( ( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y ) )  +o  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) )
5548, 54eqtr3d 2472 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  U_ y  e.  ( A  u.  B
) ( { y }  X.  ~P y
) )  =  ( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +o  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) )
56 ackbij1lem6 8107 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
57563adant3 978 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( A  u.  B
)  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
58 ackbij.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
5958ackbij1lem7 8108 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( A  u.  B ) )  =  ( card `  U_ y  e.  ( A  u.  B
) ( { y }  X.  ~P y
) ) )
6057, 59syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( F `  ( A  u.  B )
)  =  ( card `  U_ y  e.  ( A  u.  B ) ( { y }  X.  ~P y ) ) )
6158ackbij1lem7 8108 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  A )  =  ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
6258ackbij1lem7 8108 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  B )  =  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
6361, 62oveqan12d 6102 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( ( F `  A )  +o  ( F `  B
) )  =  ( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +o  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) )
64633adant3 978 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( F `  A )  +o  ( F `  B )
)  =  ( (
card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  +o  ( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) ) ) )
6555, 60, 643eqtr4d 2480 1  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( F `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( F `  A )  +o  ( F `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   {csn 3816   U_ciun 4095   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   Oncon0 4583   omcom 4847    X. cxp 4878   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    +o coa 6723    ~~ cen 7108   Fincfn 7111   cardccrd 7824    +c ccda 8049
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  8113  ackbij1lem13  8114  ackbij1lem14  8115  ackbij1lem16  8117  ackbij1lem18  8119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-cda 8050
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