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Theorem ackbij2 7885
Description: The Ackermann bijection, part 2: hereditarily finite sets can be represented by recursive binary notation. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
ackbij.g  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
ackbij.h  |-  H  = 
U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )
Assertion
Ref Expression
ackbij2  |-  H : U. ( R1 " om )
-1-1-onto-> om
Distinct variable groups:    x, F, y    x, G, y    x, H, y

Proof of Theorem ackbij2
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )
2 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  e.  _V
31, 2fun11iun 5509 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  om  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-> om  /\ 
A. b  e.  om  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) ) )  ->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e. 
om  ( R1 `  a ) -1-1-> om )
4 ackbij.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
5 ackbij.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
64, 5ackbij2lem2 7882 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a ) ) )
7 f1of1 5487 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a ) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a )
-1-1-> ( card `  ( R1 `  a ) ) )
86, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-> ( card `  ( R1 `  a
) ) )
9 ordom 4681 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
10 r1fin 7461 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  om  ->  ( R1 `  a )  e. 
Fin )
11 ficardom 7610 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R1 `  a )  e.  Fin  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  e. 
om )
1210, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  e. 
om )
13 ordelss 4424 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  ( card `  ( R1 `  a ) )  e. 
om )  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  C_  om )
149, 12, 13sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  C_  om )
15 f1ss 5458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-> (
card `  ( R1 `  a ) )  /\  ( card `  ( R1 `  a ) )  C_  om )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a )
-1-1-> om )
168, 14, 15syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-> om )
17 nnord 4680 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  om  ->  Ord  a )
18 nnord 4680 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  Ord  b )
19 ordtri2or2 4505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  a  /\  Ord  b )  ->  (
a  C_  b  \/  b  C_  a ) )
2017, 18, 19syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( a  C_  b  \/  b  C_  a ) )
214, 5ackbij2lem4 7884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  a  e.  om )  /\  a  C_  b )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
)
2221ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  om  /\  a  e.  om )  ->  ( a  C_  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) ) )
2322ancoms 439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( a  C_  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) ) )
244, 5ackbij2lem4 7884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  a )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )
)
2524ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( b  C_  a  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) ) )
2623, 25orim12d 811 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( a  C_  b  \/  b  C_  a )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a
) ) ) )
2720, 26mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) ) )
2827ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  ->  A. b  e.  om  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a
) ) )
2916, 28jca 518 . . . . 5  |-  ( a  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-> om  /\ 
A. b  e.  om  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) ) ) )
303, 29mprg 2625 . . . 4  |-  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e.  om  ( R1 `  a ) -1-1-> om
31 rdgfun 6445 . . . . . 6  |-  Fun  rec ( G ,  (/) )
32 funiunfv 5790 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
rec ( G ,  (/) )  ->  U_ a  e. 
om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )
)
3332eqcomd 2301 . . . . . 6  |-  ( Fun 
rec ( G ,  (/) )  ->  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  = 
U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) )
34 f1eq1 5448 . . . . . 6  |-  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  =  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  ->  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U. ( R1
" om ) -1-1-> om ) )
3531, 33, 34mp2b 9 . . . . 5  |-  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U. ( R1
" om ) -1-1-> om )
36 r1funlim 7454 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
3736simpli 444 . . . . . 6  |-  Fun  R1
38 funiunfv 5790 . . . . . 6  |-  ( Fun 
R1  ->  U_ a  e.  om  ( R1 `  a )  =  U. ( R1
" om ) )
39 f1eq2 5449 . . . . . 6  |-  ( U_ a  e.  om  ( R1 `  a )  = 
U. ( R1 " om )  ->  ( U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e.  om  ( R1 `  a )
-1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U. ( R1
" om ) -1-1-> om ) )
4037, 38, 39mp2b 9 . . . . 5  |-  ( U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e.  om  ( R1 `  a )
-1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U. ( R1
" om ) -1-1-> om )
4135, 40bitr4i 243 . . . 4  |-  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e. 
om  ( R1 `  a ) -1-1-> om )
4230, 41mpbir 200 . . 3  |-  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om
43 rnuni 5108 . . . 4  |-  ran  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  =  U_ a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) ran  a
44 eliun 3925 . . . . . 6  |-  ( b  e.  U_ a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) ran  a  <->  E. a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) b  e.  ran  a )
45 df-rex 2562 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) b  e.  ran  a  <->  E. a
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a ) )
46 funfn 5299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
rec ( G ,  (/) )  <->  rec ( G ,  (/) )  Fn  dom  rec ( G ,  (/) ) )
4731, 46mpbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  rec ( G ,  (/) )  Fn 
dom  rec ( G ,  (/) )
48 rdgdmlim 6446 . . . . . . . . . . . 12  |-  Lim  dom  rec ( G ,  (/) )
49 limomss 4677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim 
dom  rec ( G ,  (/) )  ->  om  C_  dom  rec ( G ,  (/) ) )
5048, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  om  C_  dom  rec ( G ,  (/) )
51 fvelimab 5594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( rec ( G ,  (/) )  Fn  dom  rec ( G ,  (/) )  /\  om  C_  dom  rec ( G ,  (/) ) )  -> 
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  <->  E. c  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a ) )
5247, 50, 51mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  <->  E. c  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a )
534, 5ackbij2lem2 7882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) : ( R1 `  c ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  c ) ) )
54 f1ofo 5495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) : ( R1 `  c ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  c ) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) : ( R1 `  c )
-onto-> ( card `  ( R1 `  c ) ) )
55 forn 5470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) : ( R1 `  c ) -onto-> ( card `  ( R1 `  c
) )  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  ( card `  ( R1 `  c ) ) )
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  om  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  ( card `  ( R1 `  c ) ) )
57 r1fin 7461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  om  ->  ( R1 `  c )  e. 
Fin )
58 ficardom 7610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R1 `  c )  e.  Fin  ->  ( card `  ( R1 `  c ) )  e. 
om )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  c ) )  e. 
om )
60 ordelss 4424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  om  /\  ( card `  ( R1 `  c ) )  e. 
om )  ->  ( card `  ( R1 `  c ) )  C_  om )
619, 59, 60sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  c ) )  C_  om )
6256, 61eqsstrd 3225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  om  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) 
C_  om )
63 rneq 4920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  ran  a )
6463sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a  ->  ( ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c
)  C_  om  <->  ran  a  C_  om ) )
6562, 64syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  c
)  =  a  ->  ran  a  C_  om )
)
6665rexlimiv 2674 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. c  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a  ->  ran  a  C_ 
om )
6752, 66sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  ->  ran  a  C_ 
om )
6867sselda 3193 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a )  ->  b  e.  om )
6968exlimiv 1624 . . . . . . 7  |-  ( E. a ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a )  ->  b  e.  om )
70 peano2 4692 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  suc  b  e.  om )
71 fnfvima 5772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( G ,  (/) )  Fn  dom  rec ( G ,  (/) )  /\  om  C_  dom  rec ( G ,  (/) )  /\  suc  b  e.  om )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )
)
7247, 50, 71mp3an12 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) )
7370, 72syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) )
74 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  b  e. 
_V
75 cardnn 7612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  b  e.  om  ->  (
card `  suc  b )  =  suc  b )
76 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R1
`  suc  b )  e.  _V
7736simpri 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Lim  dom  R1
78 limomss 4677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  om  C_  dom  R1 )
7977, 78ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  om  C_  dom  R1
8079sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  e.  dom  R1 )
81 onssr1 7519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  dom  R1  ->  suc  b  C_  ( R1 `  suc  b ) )
8280, 81syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  C_  ( R1 ` 
suc  b ) )
83 ssdomg 6923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R1 `  suc  b
)  e.  _V  ->  ( suc  b  C_  ( R1 `  suc  b )  ->  suc  b  ~<_  ( R1
`  suc  b )
) )
8476, 82, 83mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  ~<_  ( R1 `  suc  b ) )
85 nnon 4678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  e.  On )
86 onenon 7598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  On  ->  suc  b  e.  dom  card )
8785, 86syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  e.  dom  card )
88 r1fin 7461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b
)  e.  Fin )
89 finnum 7597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R1 `  suc  b
)  e.  Fin  ->  ( R1 `  suc  b
)  e.  dom  card )
9088, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b
)  e.  dom  card )
91 carddom2 7626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( suc  b  e.  dom  card  /\  ( R1 `  suc  b )  e.  dom  card )  ->  ( ( card `  suc  b ) 
C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  suc  b  ~<_  ( R1
`  suc  b )
) )
9287, 90, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( ( card `  suc  b )  C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  suc  b  ~<_  ( R1 `  suc  b
) ) )
9384, 92mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  b  e.  om  ->  (
card `  suc  b ) 
C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
9475, 93eqsstr3d 3226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
9570, 94syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  suc  b  C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
96 sucssel 4501 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  _V  ->  ( suc  b  C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  -> 
b  e.  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) ) )
9774, 95, 96mpsyl 59 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
984, 5ackbij2lem2 7882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
9970, 98syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
100 f1ofo 5495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b
) -onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
101 forn 5470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -onto->
( card `  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  (
card `  ( R1 ` 
suc  b ) ) )
10299, 100, 1013syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  =  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
10397, 102eleqtrrd 2373 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
104 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  _V
105 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  (
a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )
) )
106 rneq 4920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  ran  a  =  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
107106eleq2d 2363 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  (
b  e.  ran  a  <->  b  e.  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) )
108105, 107anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  (
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a )  <->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) ) )
109104, 108spcev 2888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) )  ->  E. a
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a ) )
11073, 103, 109syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  E. a
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a ) )
11169, 110impbii 180 . . . . . 6  |-  ( E. a ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a )  <->  b  e.  om )
11244, 45, 1113bitri 262 . . . . 5  |-  ( b  e.  U_ a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) ran  a  <->  b  e.  om )
113112eqriv 2293 . . . 4  |-  U_ a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) ran  a  =  om
11443, 113eqtri 2316 . . 3  |-  ran  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  =  om
115 dff1o5 5497 . . 3  |-  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-onto-> om  <->  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om  /\  ran  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  =  om ) )
11642, 114, 115mpbir2an 886 . 2  |-  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-onto-> om
117 ackbij.h . . 3  |-  H  = 
U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )
118 f1oeq1 5479 . . 3  |-  ( H  =  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  -> 
( H : U. ( R1 " om ) -1-1-onto-> om  <->  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1
" om ) -1-1-onto-> om )
)
119117, 118ax-mp 8 . 2  |-  ( H : U. ( R1
" om ) -1-1-onto-> om  <->  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-onto-> om )
120116, 119mpbir 200 1  |-  H : U. ( R1 " om )
-1-1-onto-> om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843   U_ciun 3921   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   Ord word 4407   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   suc csuc 4410   omcom 4672    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271   reccrdg 6438    ~<_ cdom 6877   Fincfn 6879   R1cr1 7450   cardccrd 7584
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-r1 7452  df-rank 7453  df-card 7588  df-cda 7810
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