MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij2lem1 Unicode version

Theorem ackbij2lem1 7847
Description: Lemma for ackbij2 7871. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ackbij2lem1  |-  ( A  e.  om  ->  ~P A  C_  ( ~P om  i^i  Fin ) )

Proof of Theorem ackbij2lem1
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 4667 . . . . . . 7  |-  Ord  om
2 ordelss 4410 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  om  /\  A  e.  om )  ->  A  C_ 
om )
31, 2mpan 651 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  A  C_ 
om )
4 sspwb 4225 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  om  <->  ~P A  C_  ~P om )
53, 4sylib 188 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ~P A  C_  ~P om )
65sselda 3182 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  a  e.  ~P A
)  ->  a  e.  ~P om )
7 nnfi 7055 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )
8 elpwi 3635 . . . . 5  |-  ( a  e.  ~P A  -> 
a  C_  A )
9 ssfi 7085 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  a  C_  A )  -> 
a  e.  Fin )
107, 8, 9syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  a  e.  ~P A
)  ->  a  e.  Fin )
11 elin 3360 . . . 4  |-  ( a  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  <->  ( a  e.  ~P om  /\  a  e.  Fin ) )
126, 10, 11sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  a  e.  ~P A
)  ->  a  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
1312ex 423 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
a  e.  ~P A  ->  a  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
) )
1413ssrdv 3187 1  |-  ( A  e.  om  ->  ~P A  C_  ( ~P om  i^i  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1686    i^i cin 3153    C_ wss 3154   ~Pcpw 3627   Ord word 4393   omcom 4658   Fincfn 6865
This theorem is referenced by:  ackbij1b  7867  ackbij2lem2  7868
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869
  Copyright terms: Public domain W3C validator