MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij2lem1 Unicode version

Theorem ackbij2lem1 7778
Description: Lemma for ackbij2 7802. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ackbij2lem1  |-  ( A  e.  om  ->  ~P A  C_  ( ~P om  i^i  Fin ) )

Proof of Theorem ackbij2lem1
StepHypRef Expression
1 ordom 4602 . . . . . . 7  |-  Ord  om
2 ordelss 4345 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  om  /\  A  e.  om )  ->  A  C_ 
om )
31, 2mpan 654 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  A  C_ 
om )
4 sspwb 4161 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  om  <->  ~P A  C_  ~P om )
53, 4sylib 190 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ~P A  C_  ~P om )
65sselda 3122 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  a  e.  ~P A
)  ->  a  e.  ~P om )
7 nnfi 6986 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )
8 elpwi 3574 . . . . 5  |-  ( a  e.  ~P A  -> 
a  C_  A )
9 ssfi 7016 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  a  C_  A )  -> 
a  e.  Fin )
107, 8, 9syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  a  e.  ~P A
)  ->  a  e.  Fin )
11 elin 3300 . . . 4  |-  ( a  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  <->  ( a  e.  ~P om  /\  a  e.  Fin ) )
126, 10, 11sylanbrc 648 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  a  e.  ~P A
)  ->  a  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
1312ex 425 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
a  e.  ~P A  ->  a  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
) )
1413ssrdv 3127 1  |-  ( A  e.  om  ->  ~P A  C_  ( ~P om  i^i  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621    i^i cin 3093    C_ wss 3094   ~Pcpw 3566   Ord word 4328   omcom 4593   Fincfn 6796
This theorem is referenced by:  ackbij1b  7798  ackbij2lem2  7799
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800
  Copyright terms: Public domain W3C validator