MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij2lem1 Unicode version

Theorem ackbij2lem1 7841
Description: Lemma for ackbij2 7865. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ackbij2lem1  |-  ( A  e.  om  ->  ~P A  C_  ( ~P om  i^i  Fin ) )

Proof of Theorem ackbij2lem1
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 4664 . . . . . . 7  |-  Ord  om
2 ordelss 4407 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  om  /\  A  e.  om )  ->  A  C_ 
om )
31, 2mpan 651 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  A  C_ 
om )
4 sspwb 4222 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  om  <->  ~P A  C_  ~P om )
53, 4sylib 188 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ~P A  C_  ~P om )
65sselda 3181 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  a  e.  ~P A
)  ->  a  e.  ~P om )
7 nnfi 7049 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )
8 elpwi 3634 . . . . 5  |-  ( a  e.  ~P A  -> 
a  C_  A )
9 ssfi 7079 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  a  C_  A )  -> 
a  e.  Fin )
107, 8, 9syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  a  e.  ~P A
)  ->  a  e.  Fin )
11 elin 3359 . . . 4  |-  ( a  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  <->  ( a  e.  ~P om  /\  a  e.  Fin ) )
126, 10, 11sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  a  e.  ~P A
)  ->  a  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
1312ex 423 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
a  e.  ~P A  ->  a  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
) )
1413ssrdv 3186 1  |-  ( A  e.  om  ->  ~P A  C_  ( ~P om  i^i  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1685    i^i cin 3152    C_ wss 3153   ~Pcpw 3626   Ord word 4390   omcom 4655   Fincfn 6859
This theorem is referenced by:  ackbij1b  7861  ackbij2lem2  7862
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863
  Copyright terms: Public domain W3C validator