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Theorem ackbij2lem2 8112
Description: Lemma for ackbij2 8115. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
ackbij.g  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij2lem2  |-  ( A  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, G, y    x, A, y

Proof of Theorem ackbij2lem2
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5720 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) )
2 fveq2 5720 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( R1
`  a )  =  ( R1 `  (/) ) )
32fveq2d 5724 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( card `  ( R1 `  a
) )  =  (
card `  ( R1 `  (/) ) ) )
41, 2, 3f1oeq123d 5663 . 2  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a ) )  <-> 
( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) ) ) )
5 fveq2 5720 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )
6 fveq2 5720 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  ( R1 `  a )  =  ( R1 `  b
) )
76fveq2d 5724 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  =  ( card `  ( R1 `  b ) ) )
85, 6, 7f1oeq123d 5663 . 2  |-  ( a  =  b  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a
) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  b ) ) ) )
9 fveq2 5720 . . 3  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
10 fveq2 5720 . . 3  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( R1 `  a
)  =  ( R1
`  suc  b )
)
1110fveq2d 5724 . . 3  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( card `  ( R1 `  a ) )  =  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
129, 10, 11f1oeq123d 5663 . 2  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  a ) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 ` 
suc  b ) ) ) )
13 fveq2 5720 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  A ) )
14 fveq2 5720 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( R1 `  a )  =  ( R1 `  A
) )
1514fveq2d 5724 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  =  ( card `  ( R1 `  A ) ) )
1613, 14, 15f1oeq123d 5663 . 2  |-  ( a  =  A  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a
) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  A ) ) ) )
17 f1o0 5704 . . 3  |-  (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
18 0ex 4331 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
1918rdg0 6671 . . . . 5  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)
20 f1oeq1 5657 . . . . 5  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) )  <->  (/)
: ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) ) ) )
2119, 20ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) )  <->  (/)
: ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) ) )
22 r10 7686 . . . . 5  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
2322fveq2i 5723 . . . . . 6  |-  ( card `  ( R1 `  (/) ) )  =  ( card `  (/) )
24 card0 7837 . . . . . 6  |-  ( card `  (/) )  =  (/)
2523, 24eqtri 2455 . . . . 5  |-  ( card `  ( R1 `  (/) ) )  =  (/)
26 f1oeq23 5660 . . . . 5  |-  ( ( ( R1 `  (/) )  =  (/)  /\  ( card `  ( R1 `  (/) ) )  =  (/) )  ->  ( (/) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) )  <->  (/)
: (/)
-1-1-onto-> (/) ) )
2722, 25, 26mp2an 654 . . . 4  |-  ( (/) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) )  <->  (/)
: (/)
-1-1-onto-> (/) )
2821, 27bitri 241 . . 3  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) )  <->  (/)
: (/)
-1-1-onto-> (/) )
2917, 28mpbir 201 . 2  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) )
30 ackbij.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
3130ackbij1lem17 8108 . . . . . . . . 9  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) -1-1-> om
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  F : ( ~P om  i^i  Fin ) -1-1-> om )
33 r1fin 7691 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  ( R1 `  b )  e. 
Fin )
34 ficardom 7840 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R1 `  b )  e.  Fin  ->  ( card `  ( R1 `  b ) )  e. 
om )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  b ) )  e. 
om )
36 ackbij2lem1 8091 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  ( R1 `  b ) )  e. 
om  ->  ~P ( card `  ( R1 `  b
) )  C_  ( ~P om  i^i  Fin )
)
3735, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ~P ( card `  ( R1 `  b ) )  C_  ( ~P om  i^i  Fin ) )
38 f1ores 5681 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : ( ~P
om  i^i  Fin ) -1-1-> om  /\  ~P ( card `  ( R1 `  b
) )  C_  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( F  |` 
~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) -1-1-onto-> ( F
" ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) ) )
3932, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) -1-1-onto-> ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) )
4030ackbij1b 8111 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
card `  ( R1 `  b ) )  e. 
om  ->  ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  =  ( card `  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) )
4135, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  =  ( card `  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) )
42 ficardid 7841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R1 `  b )  e.  Fin  ->  ( card `  ( R1 `  b ) )  ~~  ( R1 `  b ) )
4333, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  b ) )  ~~  ( R1 `  b ) )
44 pwen 7272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
card `  ( R1 `  b ) )  ~~  ( R1 `  b )  ->  ~P ( card `  ( R1 `  b
) )  ~~  ~P ( R1 `  b ) )
45 carden2b 7846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) 
~~  ~P ( R1 `  b )  ->  ( card `  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  =  ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
4643, 44, 453syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  ( card `  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  =  ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
4741, 46eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  =  ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
48 f1oeq3 5659 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  =  ( card `  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) -1-1-onto-> ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  <-> 
( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  (
( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) -1-1-onto-> ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  <-> 
( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) ) )
5039, 49mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( b  e.  om  ->  ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) -1-1-onto-> (
card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
5150adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( F  |` 
~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
52 f1opw 6291 . . . . . 6  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) )  ->  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) : ~P ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )
5352adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) : ~P ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )
54 f1oco 5690 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) )  /\  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> (
card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
5551, 53, 54syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
56 frsuc 6686 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  suc  b )  =  ( G `  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  b ) ) )
57 peano2 4857 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  suc  b  e.  om )
58 fvres 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  suc  b )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  suc  b )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
60 fvres 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  b )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )
6160fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  ( G `  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  b ) )  =  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
) )
62 fvex 5734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  e.  _V
63 dmeq 5062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  ->  dom  x  =  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
)
6463pweqd 3796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  ->  ~P dom  x  =  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )
65 imaeq1 5190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  ->  (
x " y )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) )
6665fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  ->  ( F `  ( x " y ) )  =  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " y ) ) )
6764, 66mpteq12dv 4279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  ->  (
y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y
) ) ) )
68 ackbij.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
6962dmex 5124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  e.  _V
7069pwex 4374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  e.  _V
7170mptex 5958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  |->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " y ) ) )  e.  _V
7267, 68, 71fvmpt 5798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  e.  _V  ->  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y
) ) ) )
7362, 72ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( G `
 ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y
) ) )
7461, 73syl6eq 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  ( G `  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  b ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y
) ) ) )
7556, 59, 743eqtr3d 2475 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( y  e. 
~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) ) ) )
7675adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " y ) ) ) )
77 f1odm 5670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) )  ->  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( R1 `  b ) )
7877adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( R1 `  b ) )
7978pweqd 3796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ~P ( R1
`  b ) )
8079mpteq1d 4282 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  |->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " y ) ) )  =  ( y  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" y ) ) ) )
81 fvex 5734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) )  e.  _V
82 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" y ) ) )  =  ( y  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" y ) ) )
8381, 82fnmpti 5565 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" y ) ) )  Fn  ~P ( R1 `  b )
8483a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( y  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) ) )  Fn  ~P ( R1 `  b ) )
85 f1ofn 5667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) )  -> 
( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) )  Fn  ~P ( R1 `  b ) )
8655, 85syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) )  Fn 
~P ( R1 `  b ) )
87 f1of 5666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ~P ( card `  ( R1 `  b ) )  -> 
( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) : ~P ( R1 `  b ) --> ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )
8853, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) : ~P ( R1
`  b ) --> ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )
8988ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c )  e.  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )
90 fvres 5737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) `  c
)  e.  ~P ( card `  ( R1 `  b ) )  -> 
( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) `  ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) )  =  ( F `
 ( ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) `  ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) )  =  ( F `
 ( ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) ) )
92 imaeq2 5191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  c  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c ) )
93 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) )  =  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) )
94 imaexg 5209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  e.  _V  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " c )  e.  _V )
9562, 94ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" c )  e. 
_V
9692, 93, 95fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ~P ( R1
`  b )  -> 
( ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) `
 c )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c
) )
9796adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c ) )
9897fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( F `  ( ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) `
 c ) )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c
) ) )
9991, 98eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) `  ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) )  =  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c ) ) )
100 fvco3 5792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) : ~P ( R1 `  b ) --> ~P ( card `  ( R1 `  b ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( (
( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) `  c )  =  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) `  ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) ) )
10188, 100sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) `  c )  =  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) `  ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) ) )
102 imaeq2 5191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  c  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " y )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c ) )
103102fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  c  ->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c
) ) )
104 fvex 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c ) )  e.  _V
105103, 82, 104fvmpt 5798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ~P ( R1
`  b )  -> 
( ( y  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c
) ) )
106105adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( y  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" y ) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c
) ) )
10799, 101, 1063eqtr4rd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( y  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" y ) ) ) `  c )  =  ( ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) `  c ) )
10884, 86, 107eqfnfvd 5822 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( y  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) ) )  =  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) )
10980, 108eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  |->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " y ) ) )  =  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) )
11076, 109eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) )
111 f1oeq1 5657 . . . . . 6  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  =  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) ) : ( R1 `  suc  b
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 ` 
suc  b ) ) ) )
112110, 111syl 16 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) ) : ( R1 `  suc  b
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 ` 
suc  b ) ) ) )
113 nnon 4843 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  On )
114 r1suc 7688 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  On  ->  ( R1 `  suc  b )  =  ~P ( R1
`  b ) )
115113, 114syl 16 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b )  =  ~P ( R1
`  b ) )
116115fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  =  ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
117 f1oeq23 5660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R1 `  suc  b )  =  ~P ( R1 `  b )  /\  ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  =  ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )  ->  ( ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) ) )
118115, 116, 117syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( b  e.  om  ->  (
( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) ) : ( R1 `  suc  b
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 ` 
suc  b ) )  <-> 
( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> (
card `  ~P ( R1 `  b ) ) ) )
119118adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( (
( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) ) )
120112, 119bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> (
card `  ~P ( R1 `  b ) ) ) )
12155, 120mpbird 224 . . 3  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 ` 
suc  b ) ) )
122121ex 424 . 2  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) ) )
1234, 8, 12, 16, 29, 122finds 4863 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   U_ciun 4085   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   Oncon0 4573   suc csuc 4575   omcom 4837    X. cxp 4868   dom cdm 4870    |` cres 4872   "cima 4873    o. ccom 4874    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446   reccrdg 6659    ~~ cen 7098   Fincfn 7101   R1cr1 7680   cardccrd 7814
This theorem is referenced by:  ackbij2lem3  8113  ackbij2  8115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-r1 7682  df-card 7818  df-cda 8040
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