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Theorem ackbijnn 12302
Description: Translate the Ackermann bijection ackbij1 7880 onto the natural numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbijnn.1  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( 2 ^ y
) )
Assertion
Ref Expression
ackbijnn  |-  F :
( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem ackbijnn
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashgval2 11376 . . . 4  |-  ( #  |` 
om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
21hashgf1o 11049 . . 3  |-  ( #  |` 
om ) : om -1-1-onto-> NN0
3 sneq 3664 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  { w }  =  { y } )
4 pweq 3641 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ~P w  =  ~P y
)
53, 4xpeq12d 4730 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( { w }  X.  ~P w )  =  ( { y }  X.  ~P y ) )
65cbviunv 3957 . . . . . . . 8  |-  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w )  =  U_ y  e.  z  ( { y }  X.  ~P y )
7 iuneq1 3934 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  U_ y  e.  z  ( {
y }  X.  ~P y )  =  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y ) )
86, 7syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w )  =  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y ) )
98fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( card `  U_ w  e.  z  ( { w }  X.  ~P w ) )  =  ( card `  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y ) ) )
109cbvmptv 4127 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( { w }  X.  ~P w ) ) )  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y ) ) )
1110ackbij1 7880 . . . 4  |-  ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( { w }  X.  ~P w ) ) ) : ( ~P
om  i^i  Fin ) -1-1-onto-> om
12 f1ocnv 5501 . . . . . 6  |-  ( (
#  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  ->  `' ( #  |`  om ) : NN0 -1-1-onto-> om )
132, 12ax-mp 8 . . . . 5  |-  `' (
#  |`  om ) : NN0
-1-1-onto-> om
14 f1opwfi 7175 . . . . 5  |-  ( `' ( #  |`  om ) : NN0
-1-1-onto-> om  ->  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> ( ~P om  i^i  Fin ) )
1513, 14ax-mp 8 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> ( ~P om  i^i  Fin )
16 f1oco 5512 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) ) : ( ~P om  i^i  Fin ) -1-1-onto-> om  /\  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> om )
1711, 15, 16mp2an 653 . . 3  |-  ( ( z  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> om
18 f1oco 5512 . . 3  |-  ( ( ( #  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( ( z  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> om )  ->  (
( #  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) ) : ( ~P
NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
192, 17, 18mp2an 653 . 2  |-  ( (
#  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) ) : ( ~P
NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0
20 inss2 3403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
21 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
-1-1-onto-> ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) --> ( ~P om  i^i  Fin ) )
2215, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) --> ( ~P
om  i^i  Fin )
23 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) )
2423fmpt 5697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) ( `' ( #  |`  om ) " x )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) --> ( ~P om  i^i  Fin ) )
2522, 24mpbir 200 . . . . . . . . . . 11  |-  A. x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) ( `' (
#  |`  om ) "
x )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
2625rspec 2620 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( `' ( #  |`  om ) " x )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
2720, 26sseldi 3191 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( `' ( #  |`  om ) " x )  e. 
Fin )
28 snfi 6957 . . . . . . . . . . 11  |-  { w }  e.  Fin
29 cnvimass 5049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( #  |`  om ) " x )  C_  dom  ( #  |`  om )
30 f1odm 5492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
#  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  ->  dom  ( #  |` 
om )  =  om )
312, 30ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( #  |`  om )  =  om
3229, 31sseqtri 3223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' ( #  |`  om ) " x )  C_  om
33 onfin2 7068 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
34 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
3533, 34eqsstri 3221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  om  C_  Fin
3632, 35sstri 3201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( #  |`  om ) " x )  C_  Fin
37 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )  ->  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )
3836, 37sseldi 3191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )  ->  w  e.  Fin )
39 pwfi 7167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  Fin  <->  ~P w  e.  Fin )
4038, 39sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )  ->  ~P w  e. 
Fin )
41 xpfi 7144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { w }  e.  Fin  /\  ~P w  e. 
Fin )  ->  ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin )
4228, 40, 41sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )  ->  ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin )
4342ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  A. w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin )
44 iunfi 7160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' ( #  |` 
om ) " x
)  e.  Fin  /\  A. w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin )  ->  U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin )
4527, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin )
46 ficardom 7610 . . . . . . . 8  |-  ( U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin  ->  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) )  e.  om )
4745, 46syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) )  e.  om )
48 fvres 5558 . . . . . . 7  |-  ( (
card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) )  e.  om  ->  ( ( #  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )  =  (
# `  ( card ` 
U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) )
4947, 48syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  (
( #  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )  =  (
# `  ( card ` 
U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) )
50 hashcard 11365 . . . . . . 7  |-  ( U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin  ->  ( # `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )  =  (
# `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )
5145, 50syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( # `
 ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )  =  (
# `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )
52 xp1st 6165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { w }  X.  ~P w )  ->  ( 1st `  z
)  e.  { w } )
53 elsni 3677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1st `  z )  e.  { w }  ->  ( 1st `  z
)  =  w )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( { w }  X.  ~P w )  ->  ( 1st `  z
)  =  w )
5554rgen 2621 . . . . . . . . . 10  |-  A. z  e.  ( { w }  X.  ~P w ) ( 1st `  z )  =  w
5655rgenw 2623 . . . . . . . . 9  |-  A. w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) A. z  e.  ( { w }  X.  ~P w ) ( 1st `  z )  =  w
57 invdisj 4028 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) A. z  e.  ( {
w }  X.  ~P w ) ( 1st `  z )  =  w  -> Disj  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) )
5856, 57mp1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  -> Disj  w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) )
5927, 42, 58hashiun 12296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( # `
 U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) )  = 
sum_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) (
# `  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )
60 sneq 3664 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' (
#  |`  om ) `  y )  ->  { w }  =  { ( `' ( #  |`  om ) `  y ) } )
61 pweq 3641 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' (
#  |`  om ) `  y )  ->  ~P w  =  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )
6260, 61xpeq12d 4730 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( `' (
#  |`  om ) `  y )  ->  ( { w }  X.  ~P w )  =  ( { ( `' (
#  |`  om ) `  y ) }  X.  ~P ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) ) )
6362fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( `' (
#  |`  om ) `  y )  ->  ( # `
 ( { w }  X.  ~P w ) )  =  ( # `  ( { ( `' ( #  |`  om ) `  y ) }  X.  ~P ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) ) ) )
64 inss2 3403 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  C_ 
Fin
6564sseli 3189 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  x  e.  Fin )
66 f1of1 5487 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( #  |`  om ) : NN0
-1-1-onto-> om  ->  `' ( #  |` 
om ) : NN0 -1-1-> om )
6713, 66ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  `' (
#  |`  om ) : NN0 -1-1-> om
68 inss1 3402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  C_ 
~P NN0
6968sseli 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  x  e.  ~P NN0 )
70 elpwi 3646 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P NN0  ->  x 
C_  NN0 )
7169, 70syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  x  C_ 
NN0 )
72 f1ores 5503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' ( #  |`  om ) : NN0 -1-1-> om  /\  x  C_ 
NN0 )  ->  ( `' ( #  |`  om )  |`  x ) : x -1-1-onto-> ( `' ( #  |`  om ) " x ) )
7367, 71, 72sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( `' ( #  |`  om )  |`  x ) : x -1-1-onto-> ( `' ( #  |`  om ) " x ) )
74 fvres 5558 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  x  ->  (
( `' ( #  |` 
om )  |`  x
) `  y )  =  ( `' (
#  |`  om ) `  y ) )
7574adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( `' ( #  |`  om )  |`  x ) `  y
)  =  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )
76 hashcl 11366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin  ->  ( # `  ( { w }  X.  ~P w ) )  e. 
NN0 )
77 nn0cn 9991 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  ( {
w }  X.  ~P w ) )  e. 
NN0  ->  ( # `  ( { w }  X.  ~P w ) )  e.  CC )
7842, 76, 773syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )  ->  ( # `  ( { w }  X.  ~P w ) )  e.  CC )
7963, 65, 73, 75, 78fsumf1o 12212 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  sum_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( # `  ( { w }  X.  ~P w ) )  = 
sum_ y  e.  x  ( # `  ( { ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) }  X.  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) ) )
80 snfi 6957 . . . . . . . . . 10  |-  { ( `' ( #  |`  om ) `  y ) }  e.  Fin
8171sselda 3193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  NN0 )
82 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( #  |`  om ) : NN0
-1-1-onto-> om  ->  `' ( #  |` 
om ) : NN0 --> om )
8313, 82ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' (
#  |`  om ) : NN0 --> om
8483ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  om )
8581, 84syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  om )
8635, 85sseldi 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  Fin )
87 pwfi 7167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  Fin  <->  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  Fin )
8886, 87sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  Fin )
89 hashxp 11402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { ( `' (
#  |`  om ) `  y ) }  e.  Fin  /\  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  Fin )  ->  ( # `  ( { ( `' (
#  |`  om ) `  y ) }  X.  ~P ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) ) )  =  ( ( # `  {
( `' ( #  |` 
om ) `  y
) } )  x.  ( # `  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) ) )
9080, 88, 89sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( # `  ( { ( `' (
#  |`  om ) `  y ) }  X.  ~P ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) ) )  =  ( ( # `  {
( `' ( #  |` 
om ) `  y
) } )  x.  ( # `  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) ) )
91 hashsng 11372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  om  ->  ( # `  {
( `' ( #  |` 
om ) `  y
) } )  =  1 )
9285, 91syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( # `  {
( `' ( #  |` 
om ) `  y
) } )  =  1 )
93 hashpw 11404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  Fin  ->  ( # `  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )  =  ( 2 ^ ( # `
 ( `' (
#  |`  om ) `  y ) ) ) )
9486, 93syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( # `  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )  =  ( 2 ^ ( # `
 ( `' (
#  |`  om ) `  y ) ) ) )
95 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  om  ->  ( ( #  |`  om ) `  ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) )  =  (
# `  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) )
9685, 95syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( #  |`  om ) `  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )  =  ( # `  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) )
97 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( #  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  y  e. 
NN0 )  ->  (
( #  |`  om ) `  ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) )  =  y )
982, 81, 97sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( #  |`  om ) `  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )  =  y )
9996, 98eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( # `  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )  =  y )
10099oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( 2 ^ ( # `  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) )  =  ( 2 ^ y ) )
10194, 100eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( # `  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )  =  ( 2 ^ y
) )
10292, 101oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( # `
 { ( `' ( #  |`  om ) `  y ) } )  x.  ( # `  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) )  =  ( 1  x.  ( 2 ^ y
) ) )
103 2cn 9832 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
104 expcl 11137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  CC )
105103, 81, 104sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( 2 ^ y )  e.  CC )
106105mulid2d 8869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( 1  x.  ( 2 ^ y ) )  =  ( 2 ^ y
) )
10790, 102, 1063eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( # `  ( { ( `' (
#  |`  om ) `  y ) }  X.  ~P ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) ) )  =  ( 2 ^ y
) )
108107sumeq2dv 12192 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  sum_ y  e.  x  ( # `  ( { ( `' (
#  |`  om ) `  y ) }  X.  ~P ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) ) )  = 
sum_ y  e.  x  ( 2 ^ y
) )
10959, 79, 1083eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( # `
 U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) )  = 
sum_ y  e.  x  ( 2 ^ y
) )
11049, 51, 1093eqtrd 2332 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  (
( #  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )  =  sum_ y  e.  x  (
2 ^ y ) )
111110mpteq2ia 4118 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( (
#  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( 2 ^ y
) )
11247adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )  ->  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) )  e.  om )
11326adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )  ->  ( `' ( #  |`  om ) " x )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
114 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) )  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) )
115 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  =  ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) ) )
116 iuneq1 3934 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( `' (
#  |`  om ) "
x )  ->  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w )  =  U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) )
117116fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( `' (
#  |`  om ) "
x )  ->  ( card `  U_ w  e.  z  ( { w }  X.  ~P w ) )  =  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) ) )
118113, 114, 115, 117fmptco 5707 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) )  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) )
1192a1i 10 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( #  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0 )
120 f1of 5488 . . . . . . . 8  |-  ( (
#  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  ->  ( #  |`  om ) : om --> NN0 )
121119, 120syl 15 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( #  |`  om ) : om --> NN0 )
122121feqmptd 5591 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( #  |`  om )  =  ( y  e. 
om  |->  ( ( #  |` 
om ) `  y
) ) )
123 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) )  ->  ( ( #  |`  om ) `  y
)  =  ( (
#  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) )
124112, 118, 122, 123fmptco 5707 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( #  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( (
#  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) ) )
125124trud 1314 . . . 4  |-  ( (
#  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( (
#  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) )
126 ackbijnn.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( 2 ^ y
) )
127111, 125, 1263eqtr4i 2326 . . 3  |-  ( (
#  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) )  =  F
128 f1oeq1 5479 . . 3  |-  ( ( ( #  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) )  =  F  -> 
( ( ( #  |` 
om )  o.  (
( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) ) : ( ~P
NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0  <->  F : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 ) )
129127, 128ax-mp 8 . 2  |-  ( ( ( #  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) ) : ( ~P
NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0  <->  F : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
13019, 129mpbi 199 1  |-  F :
( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U_ciun 3921  Disj wdisj 4009    e. cmpt 4093   Oncon0 4408   omcom 4672    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705    |` cres 4707   "cima 4708    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   Fincfn 6879   cardccrd 7584   CCcc 8751   1c1 8754    x. cmul 8758   2c2 9811   NN0cn0 9981   ^cexp 11120   #chash 11353   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  bitsinv2  12650
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175
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