MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acncc Structured version   Unicode version

Theorem acncc 8322
Description: An ax-cc 8317 equivalent: every set has choice sets of length  om. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acncc  |- AC  om  =  _V

Proof of Theorem acncc
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2961 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
2 omex 7600 . . . . 5  |-  om  e.  _V
3 isacn 7927 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  om  e.  _V )  -> 
( x  e. AC  om  <->  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  om ) E. g A. y  e.  om  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) ) )
41, 2, 3mp2an 655 . . . 4  |-  ( x  e. AC  om  <->  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  om ) E. g A. y  e.  om  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) )
5 axcc2 8319 . . . . 5  |-  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. y  e.  om  ( ( f `  y )  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) ) )
6 elmapi 7040 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  om )  ->  f : om --> ( ~P x  \  { (/) } ) )
7 ffvelrn 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : om --> ( ~P x  \  { (/) } )  /\  y  e. 
om )  ->  (
f `  y )  e.  ( ~P x  \  { (/) } ) )
8 eldifsni 3930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  y )  e.  ( ~P x  \  { (/) } )  -> 
( f `  y
)  =/=  (/) )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : om --> ( ~P x  \  { (/) } )  /\  y  e. 
om )  ->  (
f `  y )  =/=  (/) )
106, 9sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( ( ~P x  \  { (/)
} )  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( f `  y )  =/=  (/) )
11 id 21 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f `  y
)  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) )  ->  (
( f `  y
)  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) ) )
1210, 11syl5com 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( ( ~P x  \  { (/)
} )  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( f `  y )  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) )  ->  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
1312ralimdva 2786 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  om )  ->  ( A. y  e. 
om  ( ( f `
 y )  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) )  ->  A. y  e.  om  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
1413adantld 455 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  om )  ->  ( ( g  Fn 
om  /\  A. y  e.  om  ( ( f `
 y )  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )  ->  A. y  e.  om  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
1514eximdv 1633 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  om )  ->  ( E. g ( g  Fn  om  /\  A. y  e.  om  (
( f `  y
)  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) ) )  ->  E. g A. y  e. 
om  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
165, 15mpi 17 . . . 4  |-  ( f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  om )  ->  E. g A. y  e.  om  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) )
174, 16mprgbir 2778 . . 3  |-  x  e. AC  om
1817, 12th 232 . 2  |-  ( x  e. AC  om  <->  x  e.  _V )
1918eqriv 2435 1  |- AC  om  =  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   _Vcvv 2958    \ cdif 3319   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   {csn 3816   omcom 4847    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ^m cmap 7020  AC wacn 7827
This theorem is referenced by:  iunctb  8451
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cc 8317
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-acn 7831
  Copyright terms: Public domain W3C validator