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Theorem acndom 7970
Description: A set with long choice sequences also has shorter choice sequences, where "shorter" here means the new index set is dominated by the old index set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) )

Proof of Theorem acndom
Dummy variables  f 
g  h  k  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7155 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f 
f : A -1-1-> B
)
2 neq0 3626 . . . . 5  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
3 simpl3 963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  X  e. AC  B )
4 elmapi 7074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A )  ->  g : A --> ( ~P X  \  { (/)
} ) )
54ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  ->  g : A --> ( ~P X  \  { (/) } ) )
6 simpll1 997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  ->  f : A -1-1-> B
)
7 f1f1orn 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A -1-1-onto-> ran  f
)
8 f1ocnv 5722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A -1-1-onto-> ran  f  ->  `' f : ran  f -1-1-onto-> A )
9 f1of 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' f : ran  f -1-1-onto-> A  ->  `' f : ran  f
--> A )
106, 7, 8, 94syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  ->  `' f : ran  f
--> A )
1110ffvelrnda 5906 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  /\  y  e.  ran  f )  -> 
( `' f `  y )  e.  A
)
12 simpl2 962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  x  e.  A )
1312ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  /\  -.  y  e.  ran  f )  ->  x  e.  A
)
1411, 13ifclda 3794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  ->  if ( y  e. 
ran  f ,  ( `' f `  y
) ,  x )  e.  A )
155, 14ffvelrnd 5907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  ->  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  e.  ( ~P X  \  { (/) } ) )
16 eldifsn 3956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  <->  ( (
g `  if (
y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  e. 
~P X  /\  (
g `  if (
y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  =/=  (/) ) )
17 elpwi 3836 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  e. 
~P X  ->  (
g `  if (
y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  C_  X )
1817anim1i 553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  e. 
~P X  /\  (
g `  if (
y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  =/=  (/) )  ->  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  C_  X  /\  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  =/=  (/) ) )
1916, 18sylbi 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  -> 
( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  C_  X  /\  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  =/=  (/) ) )
2015, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  y  e.  B )  ->  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  C_  X  /\  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  =/=  (/) ) )
2120ralrimiva 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  A. y  e.  B  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  C_  X  /\  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  =/=  (/) ) )
22 acni2 7965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. AC  B  /\  A. y  e.  B  ( ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  C_  X  /\  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  =/=  (/) ) )  ->  E. k
( k : B --> X  /\  A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) ) ) )
233, 21, 22syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. k ( k : B --> X  /\  A. y  e.  B  (
k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) ) ) )
24 f1dm 5678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : A -1-1-> B  ->  dom  f  =  A
)
25 vex 2968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  f  e. 
_V
2625dmex 5167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  f  e.  _V
2724, 26syl6eqelr 2532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
28273ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  ->  A  e.  _V )
2928ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : B --> X  /\  A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) ) ) )  ->  A  e.  _V )
30 simpll1 997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  f : A -1-1-> B )
31 f1f 5674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
32 frn 5632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  C_  B )
33 ssralv 3396 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  f  C_  B  ->  ( A. y  e.  B  ( k `  y
)  e.  ( g `
 if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x
) )  ->  A. y  e.  ran  f ( k `
 y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) ) ) )
3430, 31, 32, 334syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  ( A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  ->  A. y  e.  ran  f ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) ) ) )
35 iftrue 3773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ran  f  ->  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x )  =  ( `' f `  y
) )
3635fveq2d 5767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ran  f  -> 
( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  =  ( g `  ( `' f `  y
) ) )
3736eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ran  f  -> 
( ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  <->  ( k `  y )  e.  ( g `  ( `' f `  y ) ) ) )
3837ralbiia 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  ran  f ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `  y ) ,  x ) )  <->  A. y  e.  ran  f ( k `
 y )  e.  ( g `  ( `' f `  y
) ) )
3934, 38syl6ib 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  ( A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  ->  A. y  e.  ran  f ( k `  y )  e.  ( g `  ( `' f `  y ) ) ) )
40 f1fn 5675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f  Fn  A )
41 fveq2 5763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
k `  y )  =  ( k `  ( f `  z
) ) )
42 fveq2 5763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  ( `' f `  y
)  =  ( `' f `  ( f `
 z ) ) )
4342fveq2d 5767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
g `  ( `' f `  y )
)  =  ( g `
 ( `' f `
 ( f `  z ) ) ) )
4441, 43eleq12d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
( k `  y
)  e.  ( g `
 ( `' f `
 y ) )  <-> 
( k `  (
f `  z )
)  e.  ( g `
 ( `' f `
 ( f `  z ) ) ) ) )
4544ralrn 5909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  A  ->  ( A. y  e.  ran  f ( k `  y )  e.  ( g `  ( `' f `  y ) )  <->  A. z  e.  A  ( k `  (
f `  z )
)  e.  ( g `
 ( `' f `
 ( f `  z ) ) ) ) )
4630, 40, 453syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  ( A. y  e.  ran  f ( k `
 y )  e.  ( g `  ( `' f `  y
) )  <->  A. z  e.  A  ( k `  ( f `  z
) )  e.  ( g `  ( `' f `  ( f `
 z ) ) ) ) )
4739, 46sylibd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  ( A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  ->  A. z  e.  A  ( k `  (
f `  z )
)  e.  ( g `
 ( `' f `
 ( f `  z ) ) ) ) )
4830, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  f : A -1-1-onto-> ran  f )
49 f1ocnvfv1 6050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> ran  f  /\  z  e.  A
)  ->  ( `' f `  ( f `  z ) )  =  z )
5048, 49sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  /\  z  e.  A )  ->  ( `' f `  ( f `  z
) )  =  z )
5150fveq2d 5767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  /\  z  e.  A )  ->  ( g `  ( `' f `  (
f `  z )
) )  =  ( g `  z ) )
5251eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  /\  z  e.  A )  ->  ( ( k `  ( f `  z
) )  e.  ( g `  ( `' f `  ( f `
 z ) ) )  <->  ( k `  ( f `  z
) )  e.  ( g `  z ) ) )
5352ralbidva 2728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  ( A. z  e.  A  ( k `  ( f `  z
) )  e.  ( g `  ( `' f `  ( f `
 z ) ) )  <->  A. z  e.  A  ( k `  (
f `  z )
)  e.  ( g `
 z ) ) )
5447, 53sylibd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : B --> X )  ->  ( A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) )  ->  A. z  e.  A  ( k `  (
f `  z )
)  e.  ( g `
 z ) ) )
5554impr 604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : B --> X  /\  A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( k `  ( f `  z
) )  e.  ( g `  z ) )
56 acnlem 7967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. z  e.  A  ( k `  ( f `
 z ) )  e.  ( g `  z ) )  ->  E. h A. z  e.  A  ( h `  z )  e.  ( g `  z ) )
5729, 55, 56syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : B --> X  /\  A. y  e.  B  ( k `  y )  e.  ( g `  if ( y  e.  ran  f ,  ( `' f `
 y ) ,  x ) ) ) )  ->  E. h A. z  e.  A  ( h `  z
)  e.  ( g `
 z ) )
5823, 57exlimddv 1650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. h A. z  e.  A  ( h `  z )  e.  ( g `  z ) )
5958ralrimiva 2796 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  ->  A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. z  e.  A  ( h `  z
)  e.  ( g `
 z ) )
60 elex 2973 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e. AC  B  ->  X  e. 
_V )
61 isacn 7963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( X  e. AC  A  <->  A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. z  e.  A  ( h `  z
)  e.  ( g `
 z ) ) )
6260, 27, 61syl2anr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  X  e. AC  B )  ->  ( X  e. AC  A 
<-> 
A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. z  e.  A  ( h `  z
)  e.  ( g `
 z ) ) )
63623adant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  ->  ( X  e. AC  A 
<-> 
A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. z  e.  A  ( h `  z
)  e.  ( g `
 z ) ) )
6459, 63mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  x  e.  A  /\  X  e. AC  B )  ->  X  e. AC  A )
65643exp 1153 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( x  e.  A  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) ) )
6665exlimdv 1648 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( E. x  x  e.  A  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) ) )
672, 66syl5bi 210 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( -.  A  =  (/)  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) ) )
68 acneq 7962 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  -> AC  A  = AC  (/) )
69 0fin 7372 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  Fin
70 finacn 7969 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  Fin  -> AC  (/)  =  _V )
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . 7  |- AC  (/)  =  _V
7268, 71syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  -> AC  A  =  _V )
7372eleq2d 2510 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( X  e. AC  A  <->  X  e.  _V ) )
7460, 73syl5ibr 214 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) )
7567, 74pm2.61d2 155 . . 3  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) )
7675exlimiv 1646 . 2  |-  ( E. f  f : A -1-1-> B  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) )
771, 76syl 16 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( X  e. AC  B  ->  X  e. AC  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1654    e. wcel 1728    =/= wne 2606   A.wral 2712   _Vcvv 2965    \ cdif 3306    C_ wss 3309   (/)c0 3616   ifcif 3767   ~Pcpw 3828   {csn 3843   class class class wbr 4243   `'ccnv 4912   dom cdm 4913   ran crn 4914    Fn wfn 5484   -->wf 5485   -1-1->wf1 5486   -1-1-onto->wf1o 5488   ` cfv 5489  (class class class)co 6117    ^m cmap 7054    ~<_ cdom 7143   Fincfn 7145  AC wacn 7863
This theorem is referenced by:  acnnum  7971  acnen  7972  iunctb  8487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-1o 6760  df-er 6941  df-map 7056  df-en 7146  df-dom 7147  df-fin 7149  df-acn 7867
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