MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acndom2 Unicode version

Theorem acndom2 7861
Description: A set smaller than one with choice sequences of length  A also has choice sequences of length 
A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  ( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )

Proof of Theorem acndom2
Dummy variables  f 
g  h  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7048 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  E. f 
f : X -1-1-> Y
)
2 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  Y  e. AC  A )
3 imassrn 5149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f
" ( g `  x ) )  C_  ran  f
4 simplll 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  f : X -1-1-> Y
)
5 f1f 5572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : X -1-1-> Y  -> 
f : X --> Y )
6 frn 5530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : X --> Y  ->  ran  f  C_  Y )
74, 5, 63syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ran  f  C_  Y
)
83, 7syl5ss 3295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( f " (
g `  x )
)  C_  Y )
9 elmapi 6967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A )  ->  g : A --> ( ~P X  \  { (/)
} ) )
109adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
g : A --> ( ~P X  \  { (/) } ) )
1110ffvelrnda 5802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  e.  ( ~P X  \  { (/) } ) )
1211eldifad 3268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  e.  ~P X
)
1312elpwid 3744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  C_  X )
14 f1dm 5576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : X -1-1-> Y  ->  dom  f  =  X
)
154, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  dom  f  =  X )
1613, 15sseqtr4d 3321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  C_  dom  f )
17 dfss1 3481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g `  x ) 
C_  dom  f  <->  ( dom  f  i^i  ( g `  x ) )  =  ( g `  x
) )
1816, 17sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  f  i^i  ( g `  x
) )  =  ( g `  x ) )
19 eldifsni 3864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g `  x )  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  -> 
( g `  x
)  =/=  (/) )
2011, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  =/=  (/) )
2118, 20eqnetrd 2561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  f  i^i  ( g `  x
) )  =/=  (/) )
22 imadisj 5156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f " ( g `
 x ) )  =  (/)  <->  ( dom  f  i^i  ( g `  x
) )  =  (/) )
2322necon3bii 2575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f " ( g `
 x ) )  =/=  (/)  <->  ( dom  f  i^i  ( g `  x
) )  =/=  (/) )
2421, 23sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( f " (
g `  x )
)  =/=  (/) )
258, 24jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( f "
( g `  x
) )  C_  Y  /\  ( f " (
g `  x )
)  =/=  (/) ) )
2625ralrimiva 2725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  A. x  e.  A  ( ( f "
( g `  x
) )  C_  Y  /\  ( f " (
g `  x )
)  =/=  (/) ) )
27 acni2 7853 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( ( f " (
g `  x )
)  C_  Y  /\  ( f " (
g `  x )
)  =/=  (/) ) )  ->  E. k ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f "
( g `  x
) ) ) )
282, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. k ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  (
k `  x )  e.  ( f " (
g `  x )
) ) )
29 acnrcl 7849 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e. AC  A  ->  A  e. 
_V )
3029ad3antlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) ) ) )  ->  A  e.  _V )
31 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  f : X -1-1-> Y )
32 f1f1orn 5618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : X -1-1-> Y  -> 
f : X -1-1-onto-> ran  f
)
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  f : X
-1-1-onto-> ran  f )
34 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) ) )
353, 34sseldi 3282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  ran  f )
36 f1ocnvfv2 5947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : X -1-1-onto-> ran  f  /\  ( k `  x
)  e.  ran  f
)  ->  ( f `  ( `' f `  ( k `  x
) ) )  =  ( k `  x
) )
3733, 35, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( f `  ( `' f `  ( k `  x
) ) )  =  ( k `  x
) )
3837, 34eqeltrd 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( f `  ( `' f `  ( k `  x
) ) )  e.  ( f " (
g `  x )
) )
39 f1ocnv 5620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : X -1-1-onto-> ran  f  ->  `' f : ran  f -1-1-onto-> X )
40 f1of 5607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' f : ran  f -1-1-onto-> X  ->  `' f : ran  f
--> X )
4133, 39, 403syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  `' f : ran  f --> X )
4241, 35ffvelrnd 5803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( `' f `  ( k `  x ) )  e.  X )
4313ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( g `  x )  C_  X
)
44 f1elima 5941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : X -1-1-> Y  /\  ( `' f `  ( k `  x
) )  e.  X  /\  ( g `  x
)  C_  X )  ->  ( ( f `  ( `' f `  (
k `  x )
) )  e.  ( f " ( g `
 x ) )  <-> 
( `' f `  ( k `  x
) )  e.  ( g `  x ) ) )
4531, 42, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( (
f `  ( `' f `  ( k `  x ) ) )  e.  ( f "
( g `  x
) )  <->  ( `' f `  ( k `  x ) )  e.  ( g `  x
) ) )
4638, 45mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( `' f `  ( k `  x ) )  e.  ( g `  x
) )
4746expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) )  ->  ( `' f `
 ( k `  x ) )  e.  ( g `  x
) ) )
4847ralimdva 2720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  ->  ( A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) )  ->  A. x  e.  A  ( `' f `  (
k `  x )
)  e.  ( g `
 x ) ) )
4948impr 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( `' f `  ( k `  x ) )  e.  ( g `  x
) )
50 acnlem 7855 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  ( `' f `  (
k `  x )
)  e.  ( g `
 x ) )  ->  E. h A. x  e.  A  ( h `  x )  e.  ( g `  x ) )
5130, 49, 50syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) ) ) )  ->  E. h A. x  e.  A  ( h `  x
)  e.  ( g `
 x ) )
5228, 51exlimddv 1645 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. h A. x  e.  A  ( h `  x )  e.  ( g `  x ) )
5352ralrimiva 2725 . . . . 5  |-  ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  ->  A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. x  e.  A  ( h `  x
)  e.  ( g `
 x ) )
54 vex 2895 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
5554dmex 5065 . . . . . . 7  |-  dom  f  e.  _V
5614, 55syl6eqelr 2469 . . . . . 6  |-  ( f : X -1-1-> Y  ->  X  e.  _V )
57 isacn 7851 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( X  e. AC  A  <->  A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. x  e.  A  ( h `  x
)  e.  ( g `
 x ) ) )
5856, 29, 57syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  ->  ( X  e. AC  A 
<-> 
A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. x  e.  A  ( h `  x
)  e.  ( g `
 x ) ) )
5953, 58mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  ->  X  e. AC  A )
6059ex 424 . . 3  |-  ( f : X -1-1-> Y  -> 
( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )
6160exlimiv 1641 . 2  |-  ( E. f  f : X -1-1-> Y  ->  ( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )
621, 61syl 16 1  |-  ( X  ~<_  Y  ->  ( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   _Vcvv 2892    \ cdif 3253    i^i cin 3255    C_ wss 3256   (/)c0 3564   ~Pcpw 3735   {csn 3750   class class class wbr 4146   `'ccnv 4810   dom cdm 4811   ran crn 4812   "cima 4814   -->wf 5383   -1-1->wf1 5384   -1-1-onto->wf1o 5386   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    ^m cmap 6947    ~<_ cdom 7036  AC wacn 7751
This theorem is referenced by:  acnen2  7862  dfac13  7948  iundomg  8342  iunctb  8375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-map 6949  df-dom 7040  df-acn 7755
  Copyright terms: Public domain W3C validator