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Theorem acndom2 7924
Description: A set smaller than one with choice sequences of length  A also has choice sequences of length 
A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  ( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )

Proof of Theorem acndom2
Dummy variables  f 
g  h  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7110 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  E. f 
f : X -1-1-> Y
)
2 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  Y  e. AC  A )
3 imassrn 5207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f
" ( g `  x ) )  C_  ran  f
4 simplll 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  f : X -1-1-> Y
)
5 f1f 5630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : X -1-1-> Y  -> 
f : X --> Y )
6 frn 5588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : X --> Y  ->  ran  f  C_  Y )
74, 5, 63syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ran  f  C_  Y
)
83, 7syl5ss 3351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( f " (
g `  x )
)  C_  Y )
9 elmapi 7029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A )  ->  g : A --> ( ~P X  \  { (/)
} ) )
109adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  -> 
g : A --> ( ~P X  \  { (/) } ) )
1110ffvelrnda 5861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  e.  ( ~P X  \  { (/) } ) )
1211eldifad 3324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  e.  ~P X
)
1312elpwid 3800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  C_  X )
14 f1dm 5634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : X -1-1-> Y  ->  dom  f  =  X
)
154, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  dom  f  =  X )
1613, 15sseqtr4d 3377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  C_  dom  f )
17 dfss1 3537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g `  x ) 
C_  dom  f  <->  ( dom  f  i^i  ( g `  x ) )  =  ( g `  x
) )
1816, 17sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  f  i^i  ( g `  x
) )  =  ( g `  x ) )
19 eldifsni 3920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g `  x )  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  -> 
( g `  x
)  =/=  (/) )
2011, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  =/=  (/) )
2118, 20eqnetrd 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  f  i^i  ( g `  x
) )  =/=  (/) )
22 imadisj 5214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f " ( g `
 x ) )  =  (/)  <->  ( dom  f  i^i  ( g `  x
) )  =  (/) )
2322necon3bii 2630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f " ( g `
 x ) )  =/=  (/)  <->  ( dom  f  i^i  ( g `  x
) )  =/=  (/) )
2421, 23sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( f " (
g `  x )
)  =/=  (/) )
258, 24jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( f "
( g `  x
) )  C_  Y  /\  ( f " (
g `  x )
)  =/=  (/) ) )
2625ralrimiva 2781 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  A. x  e.  A  ( ( f "
( g `  x
) )  C_  Y  /\  ( f " (
g `  x )
)  =/=  (/) ) )
27 acni2 7916 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( ( f " (
g `  x )
)  C_  Y  /\  ( f " (
g `  x )
)  =/=  (/) ) )  ->  E. k ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f "
( g `  x
) ) ) )
282, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. k ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  (
k `  x )  e.  ( f " (
g `  x )
) ) )
29 acnrcl 7912 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e. AC  A  ->  A  e. 
_V )
3029ad3antlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) ) ) )  ->  A  e.  _V )
31 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  f : X -1-1-> Y )
32 f1f1orn 5676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : X -1-1-> Y  -> 
f : X -1-1-onto-> ran  f
)
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  f : X
-1-1-onto-> ran  f )
34 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) ) )
353, 34sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  ran  f )
36 f1ocnvfv2 6006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : X -1-1-onto-> ran  f  /\  ( k `  x
)  e.  ran  f
)  ->  ( f `  ( `' f `  ( k `  x
) ) )  =  ( k `  x
) )
3733, 35, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( f `  ( `' f `  ( k `  x
) ) )  =  ( k `  x
) )
3837, 34eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( f `  ( `' f `  ( k `  x
) ) )  e.  ( f " (
g `  x )
) )
39 f1ocnv 5678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : X -1-1-onto-> ran  f  ->  `' f : ran  f -1-1-onto-> X )
40 f1of 5665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' f : ran  f -1-1-onto-> X  ->  `' f : ran  f
--> X )
4133, 39, 403syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  `' f : ran  f --> X )
4241, 35ffvelrnd 5862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( `' f `  ( k `  x ) )  e.  X )
4313ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( g `  x )  C_  X
)
44 f1elima 6000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : X -1-1-> Y  /\  ( `' f `  ( k `  x
) )  e.  X  /\  ( g `  x
)  C_  X )  ->  ( ( f `  ( `' f `  (
k `  x )
) )  e.  ( f " ( g `
 x ) )  <-> 
( `' f `  ( k `  x
) )  e.  ( g `  x ) ) )
4531, 42, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( (
f `  ( `' f `  ( k `  x ) ) )  e.  ( f "
( g `  x
) )  <->  ( `' f `  ( k `  x ) )  e.  ( g `  x
) ) )
4638, 45mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  ( x  e.  A  /\  ( k `  x
)  e.  ( f
" ( g `  x ) ) ) )  ->  ( `' f `  ( k `  x ) )  e.  ( g `  x
) )
4746expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) )  ->  ( `' f `
 ( k `  x ) )  e.  ( g `  x
) ) )
4847ralimdva 2776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  k : A --> Y )  ->  ( A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) )  ->  A. x  e.  A  ( `' f `  (
k `  x )
)  e.  ( g `
 x ) ) )
4948impr 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( `' f `  ( k `  x ) )  e.  ( g `  x
) )
50 acnlem 7918 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  ( `' f `  (
k `  x )
)  e.  ( g `
 x ) )  ->  E. h A. x  e.  A  ( h `  x )  e.  ( g `  x ) )
5130, 49, 50syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  /\  ( k : A --> Y  /\  A. x  e.  A  ( k `  x )  e.  ( f " ( g `
 x ) ) ) )  ->  E. h A. x  e.  A  ( h `  x
)  e.  ( g `
 x ) )
5228, 51exlimddv 1648 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  /\  g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. h A. x  e.  A  ( h `  x )  e.  ( g `  x ) )
5352ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  ->  A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. x  e.  A  ( h `  x
)  e.  ( g `
 x ) )
54 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
5554dmex 5123 . . . . . . 7  |-  dom  f  e.  _V
5614, 55syl6eqelr 2524 . . . . . 6  |-  ( f : X -1-1-> Y  ->  X  e.  _V )
57 isacn 7914 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( X  e. AC  A  <->  A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. x  e.  A  ( h `  x
)  e.  ( g `
 x ) ) )
5856, 29, 57syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  ->  ( X  e. AC  A 
<-> 
A. g  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. h A. x  e.  A  ( h `  x
)  e.  ( g `
 x ) ) )
5953, 58mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( f : X -1-1-> Y  /\  Y  e. AC  A )  ->  X  e. AC  A )
6059ex 424 . . 3  |-  ( f : X -1-1-> Y  -> 
( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )
6160exlimiv 1644 . 2  |-  ( E. f  f : X -1-1-> Y  ->  ( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )
621, 61syl 16 1  |-  ( X  ~<_  Y  ->  ( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   class class class wbr 4204   `'ccnv 4868   dom cdm 4869   ran crn 4870   "cima 4872   -->wf 5441   -1-1->wf1 5442   -1-1-onto->wf1o 5444   ` cfv 5445  (class class class)co 6072    ^m cmap 7009    ~<_ cdom 7098  AC wacn 7814
This theorem is referenced by:  acnen2  7925  dfac13  8011  iundomg  8405  iunctb  8438
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-map 7011  df-dom 7102  df-acn 7818
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