MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acnen Unicode version

Theorem acnen 7696
Description: The class of choice sets of length  A is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnen  |-  ( A 
~~  B  -> AC  A  = AC  B )

Proof of Theorem acnen
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 6926 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
2 endom 6904 . . . 4  |-  ( B 
~~  A  ->  B  ~<_  A )
3 acndom 7694 . . . 4  |-  ( B  ~<_  A  ->  ( x  e. AC  A  ->  x  e. AC  B ) )
41, 2, 33syl 18 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  (
x  e. AC  A  ->  x  e. AC  B ) )
5 endom 6904 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  A  ~<_  B )
6 acndom 7694 . . . 4  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( x  e. AC  B  ->  x  e. AC  A ) )
75, 6syl 15 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  (
x  e. AC  B  ->  x  e. AC  A ) )
84, 7impbid 183 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  (
x  e. AC  A  <->  x  e. AC  B ) )
98eqrdv 2294 1  |-  ( A 
~~  B  -> AC  A  = AC  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877  AC wacn 7587
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-1o 6495  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-acn 7591
  Copyright terms: Public domain W3C validator