MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acnen2 Structured version   Unicode version

Theorem acnen2 7937
Description: The class of sets with choice sequences of length  A is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnen2  |-  ( X 
~~  Y  ->  ( X  e. AC  A  <->  Y  e. AC  A ) )

Proof of Theorem acnen2
StepHypRef Expression
1 ensym 7157 . . 3  |-  ( X 
~~  Y  ->  Y  ~~  X )
2 endom 7135 . . 3  |-  ( Y 
~~  X  ->  Y  ~<_  X )
3 acndom2 7936 . . 3  |-  ( Y  ~<_  X  ->  ( X  e. AC  A  ->  Y  e. AC  A ) )
41, 2, 33syl 19 . 2  |-  ( X 
~~  Y  ->  ( X  e. AC  A  ->  Y  e. AC  A ) )
5 endom 7135 . . 3  |-  ( X 
~~  Y  ->  X  ~<_  Y )
6 acndom2 7936 . . 3  |-  ( X  ~<_  Y  ->  ( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( X 
~~  Y  ->  ( Y  e. AC  A  ->  X  e. AC  A ) )
84, 7impbid 185 1  |-  ( X 
~~  Y  ->  ( X  e. AC  A  <->  Y  e. AC  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    e. wcel 1726   class class class wbr 4213    ~~ cen 7107    ~<_ cdom 7108  AC wacn 7826
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-acn 7830
  Copyright terms: Public domain W3C validator