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Theorem acneq 7850
Description: Equality theorem for the choice set function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acneq  |-  ( A  =  C  -> AC  A  = AC  C )

Proof of Theorem acneq
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2440 . . . 4  |-  ( A  =  C  ->  ( A  e.  _V  <->  C  e.  _V ) )
2 oveq2 6021 . . . . 5  |-  ( A  =  C  ->  (
( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A )  =  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  C ) )
3 raleq 2840 . . . . . 6  |-  ( A  =  C  ->  ( A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y )  <->  A. y  e.  C  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
43exbidv 1633 . . . . 5  |-  ( A  =  C  ->  ( E. g A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y )  <->  E. g A. y  e.  C  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
52, 4raleqbidv 2852 . . . 4  |-  ( A  =  C  ->  ( A. f  e.  (
( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y )  <->  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  C ) E. g A. y  e.  C  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) )
61, 5anbi12d 692 . . 3  |-  ( A  =  C  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) )  <-> 
( C  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  C ) E. g A. y  e.  C  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) ) )
76abbidv 2494 . 2  |-  ( A  =  C  ->  { x  |  ( A  e. 
_V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) }  =  { x  |  ( C  e. 
_V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  C ) E. g A. y  e.  C  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) } )
8 df-acn 7755 . 2  |- AC  A  =  { x  |  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/)
} )  ^m  A
) E. g A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) ) }
9 df-acn 7755 . 2  |- AC  C  =  { x  |  ( C  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/)
} )  ^m  C
) E. g A. y  e.  C  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) ) }
107, 8, 93eqtr4g 2437 1  |-  ( A  =  C  -> AC  A  = AC  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2366   A.wral 2642   _Vcvv 2892    \ cdif 3253   (/)c0 3564   ~Pcpw 3735   {csn 3750   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    ^m cmap 6947  AC wacn 7751
This theorem is referenced by:  acndom  7858  dfacacn  7947  dfac13  7948
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-iota 5351  df-fv 5395  df-ov 6016  df-acn 7755
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