Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acnnum Structured version   Unicode version

Theorem acnnum 7923
 Description: A set which has choice sequences on it of length is well-orderable (and hence has choice sequences of every length). (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnnum AC

Proof of Theorem acnnum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 4375 . . . . . . 7 AC
2 difss 3466 . . . . . . 7
3 ssdomg 7145 . . . . . . 7
41, 2, 3ee10 1385 . . . . . 6 AC
5 acndom 7922 . . . . . 6 AC AC
64, 5mpcom 34 . . . . 5 AC AC
7 eldifsn 3919 . . . . . . 7
8 elpwi 3799 . . . . . . . 8
98anim1i 552 . . . . . . 7
107, 9sylbi 188 . . . . . 6
1110rgen 2763 . . . . 5
12 acni2 7917 . . . . 5 AC
136, 11, 12sylancl 644 . . . 4 AC
14 simpr 448 . . . . . 6
157imbi1i 316 . . . . . . . 8
16 impexp 434 . . . . . . . 8
1715, 16bitri 241 . . . . . . 7
1817ralbii2 2725 . . . . . 6
1914, 18sylib 189 . . . . 5
2019eximi 1585 . . . 4
2113, 20syl 16 . . 3 AC
22 dfac8a 7901 . . 3 AC
2321, 22mpd 15 . 2 AC
24 pwexg 4375 . . 3
25 numacn 7920 . . 3 AC
2624, 25mpcom 34 . 2 AC
2723, 26impbii 181 1 AC
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wex 1550   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  cvv 2948   cdif 3309   wss 3312  c0 3620  cpw 3791  csn 3806   class class class wbr 4204   cdm 4870  wf 5442  cfv 5446   cdom 7099  ccrd 7812  AC wacn 7815 This theorem is referenced by:  dfac13  8012 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-1o 6716  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-fin 7105  df-card 7816  df-acn 7819
 Copyright terms: Public domain W3C validator