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Theorem acnrcl 7685
Description: Reverse closure for the choice set predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnrcl  |-  ( X  e. AC  A  ->  A  e. 
_V )

Proof of Theorem acnrcl
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ne0i 3474 . . 3  |-  ( X  e.  { x  |  ( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) }  ->  { x  |  ( A  e. 
_V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) }  =/=  (/) )
2 abn0 3486 . . . 4  |-  ( { x  |  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) }  =/=  (/)  <->  E. x
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) )
3 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/)
} )  ^m  A
) E. g A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) )  ->  A  e.  _V )
43exlimiv 1624 . . . 4  |-  ( E. x ( A  e. 
_V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) )  ->  A  e.  _V )
52, 4sylbi 187 . . 3  |-  ( { x  |  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) }  =/=  (/)  ->  A  e.  _V )
61, 5syl 15 . 2  |-  ( X  e.  { x  |  ( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) }  ->  A  e.  _V )
7 df-acn 7591 . 2  |- AC  A  =  { x  |  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/)
} )  ^m  A
) E. g A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) ) }
86, 7eleq2s 2388 1  |-  ( X  e. AC  A  ->  A  e. 
_V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1531    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788  AC wacn 7587
This theorem is referenced by:  acni  7688  acni2  7689  acndom2  7697  fodomacn  7699  iundom2g  8178
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-v 2803  df-dif 3168  df-nul 3469  df-acn 7591
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