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Theorem acongrep 26738
Description: Every integer is alternating-congruent to some number in the first half of the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
acongrep  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ( 0 ... A ) ( ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  N )  \/  ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  -u N
) ) )
Distinct variable groups:    A, a    N, a

Proof of Theorem acongrep
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 10067 . . . 4  |-  2  e.  NN
2 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  NN )
3 nnmulcl 9957 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
41, 2, 3sylancr 645 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
5 simpr 448 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
6 congrep 26731 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) )
74, 5, 6syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) )
8 elfzelz 10993 . . . . 5  |-  ( b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) )  ->  b  e.  ZZ )
98zred 10309 . . . 4  |-  ( b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) )  ->  b  e.  RR )
109ad2antrl 709 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
b  e.  RR )
11 nnre 9941 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
1211ad2antrr 707 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  ->  A  e.  RR )
13 elfzle1 10994 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) )  ->  0  <_  b )
1413ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
0  <_  b )
1514anim1i 552 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  b  <_  A
)  ->  ( 0  <_  b  /\  b  <_  A ) )
168ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
b  e.  ZZ )
17 0z 10227 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
0  e.  ZZ )
19 nnz 10237 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
2019ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  ->  A  e.  ZZ )
21 elfz 10983 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
b  e.  ( 0 ... A )  <->  ( 0  <_  b  /\  b  <_  A ) ) )
2216, 18, 20, 21syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( b  e.  ( 0 ... A )  <-> 
( 0  <_  b  /\  b  <_  A ) ) )
2322adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  b  <_  A
)  ->  ( b  e.  ( 0 ... A
)  <->  ( 0  <_ 
b  /\  b  <_  A ) ) )
2415, 23mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  b  <_  A
)  ->  b  e.  ( 0 ... A
) )
25 simplrr 738 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  b  <_  A
)  ->  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) )
2625orcd 382 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  b  <_  A
)  ->  ( (
2  x.  A ) 
||  ( b  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( b  -  -u N ) ) )
27 id 20 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  a  =  b )
28 eqidd 2390 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  N  =  N )
2927, 28acongeq12d 26737 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  N )  \/  ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  -u N
) )  <->  ( (
2  x.  A ) 
||  ( b  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( b  -  -u N ) ) ) )
3029rspcev 2997 . . . 4  |-  ( ( b  e.  ( 0 ... A )  /\  ( ( 2  x.  A )  ||  (
b  -  N )  \/  ( 2  x.  A )  ||  (
b  -  -u N
) ) )  ->  E. a  e.  (
0 ... A ) ( ( 2  x.  A
)  ||  ( a  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( a  -  -u N ) ) )
3124, 26, 30syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  b  <_  A
)  ->  E. a  e.  ( 0 ... A
) ( ( 2  x.  A )  ||  ( a  -  N
)  \/  ( 2  x.  A )  ||  ( a  -  -u N
) ) )
32 simplll 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  A  e.  NN )
33 simplrl 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ) )
34 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  A  <_  b )
3593ad2ant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
b  e.  RR )
36 2re 10003 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
37 remulcl 9010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
3836, 11, 37sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  x.  A )  e.  RR )
39383ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  RR )
40 elfzel1 10992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) )  ->  0  e.  ZZ )
41403ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
0  e.  ZZ )
42 2z 10246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ZZ
43 zmulcl 10258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  ZZ )
4442, 19, 43sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  x.  A )  e.  ZZ )
45443ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  ZZ )
46 simp2 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ) )
47 elfzm11 11048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  A
)  e.  ZZ )  ->  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  <->  ( b  e.  ZZ  /\  0  <_ 
b  /\  b  <  ( 2  x.  A ) ) ) )
4847biimpa 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  A
)  e.  ZZ )  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) )  ->  ( b  e.  ZZ  /\  0  <_ 
b  /\  b  <  ( 2  x.  A ) ) )
4941, 45, 46, 48syl21anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( b  e.  ZZ  /\  0  <_  b  /\  b  <  ( 2  x.  A ) ) )
5049simp3d 971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
b  <  ( 2  x.  A ) )
5135, 39, 50ltled 9155 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
b  <_  ( 2  x.  A ) )
5239, 35subge0d 9550 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( 0  <_  (
( 2  x.  A
)  -  b )  <-> 
b  <_  ( 2  x.  A ) ) )
5351, 52mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
0  <_  ( (
2  x.  A )  -  b ) )
54113ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  ->  A  e.  RR )
55 nncn 9942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
56 2times 10033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  A )  =  ( A  +  A ) )
5756oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  A
)  -  A )  =  ( ( A  +  A )  -  A ) )
58 pncan2 9246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( A  +  A )  -  A
)  =  A )
5958anidms 627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  A
)  -  A )  =  A )
6057, 59eqtrd 2421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  A
)  -  A )  =  A )
6155, 60syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( 2  x.  A
)  -  A )  =  A )
62613ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( ( 2  x.  A )  -  A
)  =  A )
63 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  ->  A  <_  b )
6462, 63eqbrtrd 4175 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( ( 2  x.  A )  -  A
)  <_  b )
6539, 54, 35, 64subled 9563 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( ( 2  x.  A )  -  b
)  <_  A )
6653, 65jca 519 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( 0  <_  (
( 2  x.  A
)  -  b )  /\  ( ( 2  x.  A )  -  b )  <_  A
) )
6732, 33, 34, 66syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  ( 0  <_  ( ( 2  x.  A )  -  b )  /\  (
( 2  x.  A
)  -  b )  <_  A ) )
6842, 20, 43sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  ZZ )
6968, 16zsubcld 10314 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( 2  x.  A )  -  b
)  e.  ZZ )
70 elfz 10983 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  -  b
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  b
)  e.  ( 0 ... A )  <->  ( 0  <_  ( ( 2  x.  A )  -  b )  /\  (
( 2  x.  A
)  -  b )  <_  A ) ) )
7169, 18, 20, 70syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  -  b )  e.  ( 0 ... A )  <-> 
( 0  <_  (
( 2  x.  A
)  -  b )  /\  ( ( 2  x.  A )  -  b )  <_  A
) ) )
7271adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  b )  e.  ( 0 ... A )  <->  ( 0  <_  ( ( 2  x.  A )  -  b )  /\  (
( 2  x.  A
)  -  b )  <_  A ) ) )
7367, 72mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  ( (
2  x.  A )  -  b )  e.  ( 0 ... A
) )
74 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  ->  N  e.  ZZ )
75 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) )
76 congsym 26726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  ||  ( N  -  b ) )
7768, 16, 74, 75, 76syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  ||  ( N  -  b ) )
7874, 16zsubcld 10314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( N  -  b
)  e.  ZZ )
79 dvdsadd 12817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  b
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  A )  ||  ( N  -  b
)  <->  ( 2  x.  A )  ||  (
( 2  x.  A
)  +  ( N  -  b ) ) ) )
8068, 78, 79syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( 2  x.  A )  ||  ( N  -  b )  <->  ( 2  x.  A ) 
||  ( ( 2  x.  A )  +  ( N  -  b
) ) ) )
8177, 80mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  ||  ( (
2  x.  A )  +  ( N  -  b ) ) )
8269zcnd 10310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( 2  x.  A )  -  b
)  e.  CC )
83 zcn 10221 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
8483ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  ->  N  e.  CC )
8582, 84subnegd 9352 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  -u N
)  =  ( ( ( 2  x.  A
)  -  b )  +  N ) )
8668zcnd 10310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  CC )
8710recnd 9049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
b  e.  CC )
8886, 87, 84subadd23d 9367 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  -  b )  +  N
)  =  ( ( 2  x.  A )  +  ( N  -  b ) ) )
8985, 88eqtrd 2421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  -u N
)  =  ( ( 2  x.  A )  +  ( N  -  b ) ) )
9081, 89breqtrrd 4181 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  ||  ( (
( 2  x.  A
)  -  b )  -  -u N ) )
9190adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  ( 2  x.  A )  ||  ( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  -u N
) )
9291olcd 383 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  ( (
2  x.  A ) 
||  ( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  -u N ) ) )
93 id 20 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( ( 2  x.  A )  -  b )  ->  a  =  ( ( 2  x.  A )  -  b ) )
94 eqidd 2390 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( ( 2  x.  A )  -  b )  ->  N  =  N )
9593, 94acongeq12d 26737 . . . . 5  |-  ( a  =  ( ( 2  x.  A )  -  b )  ->  (
( ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  N )  \/  ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  -u N
) )  <->  ( (
2  x.  A ) 
||  ( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  -u N ) ) ) )
9695rspcev 2997 . . . 4  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  -  b
)  e.  ( 0 ... A )  /\  ( ( 2  x.  A )  ||  (
( ( 2  x.  A )  -  b
)  -  N )  \/  ( 2  x.  A )  ||  (
( ( 2  x.  A )  -  b
)  -  -u N
) ) )  ->  E. a  e.  (
0 ... A ) ( ( 2  x.  A
)  ||  ( a  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( a  -  -u N ) ) )
9773, 92, 96syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  E. a  e.  ( 0 ... A
) ( ( 2  x.  A )  ||  ( a  -  N
)  \/  ( 2  x.  A )  ||  ( a  -  -u N
) ) )
9810, 12, 31, 97lecasei 9114 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  ->  E. a  e.  (
0 ... A ) ( ( 2  x.  A
)  ||  ( a  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( a  -  -u N ) ) )
997, 98rexlimddv 2779 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ( 0 ... A ) ( ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  N )  \/  ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  -u N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2652   class class class wbr 4155  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    x. cmul 8930    < clt 9055    <_ cle 9056    - cmin 9225   -ucneg 9226   NNcn 9934   2c2 9983   ZZcz 10216   ...cfz 10977    || cdivides 12781
This theorem is referenced by:  jm2.26  26766
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-fz 10978  df-fl 11131  df-mod 11180  df-dvds 12782
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