MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsdrscl Structured version   Unicode version

Theorem acsdrscl 14586
Description: In an algebraic closure system, closure commutes with directed unions. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
acsdrscl  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X  /\  (toInc `  Y )  e. Dirset )  ->  ( F `  U. Y )  =  U. ( F " Y ) )

Proof of Theorem acsdrscl
Dummy variables  s 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5749 . . . . 5  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  X  e.  dom ACS )
2 pwexg 4375 . . . . 5  |-  ( X  e.  dom ACS  ->  ~P X  e.  _V )
3 elpw2g 4355 . . . . 5  |-  ( ~P X  e.  _V  ->  ( Y  e.  ~P ~P X 
<->  Y  C_  ~P X
) )
41, 2, 33syl 19 . . . 4  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( Y  e.  ~P ~P X  <->  Y  C_  ~P X ) )
54biimpar 472 . . 3  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X )  ->  Y  e.  ~P ~P X )
6 isacs3lem 14582 . . . . . 6  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
7 acsdrscl.f . . . . . . 7  |-  F  =  (mrCls `  C )
87isacs4lem 14584 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) )  -> 
( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) ) )
96, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t
)  =  U. ( F " t ) ) ) )
109simprd 450 . . . 4  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  A. t  e.  ~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t )  =  U. ( F " t ) ) )
1110adantr 452 . . 3  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X )  ->  A. t  e.  ~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t
)  =  U. ( F " t ) ) )
12 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( t  =  Y  ->  (toInc `  t )  =  (toInc `  Y ) )
1312eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( t  =  Y  ->  (
(toInc `  t )  e. Dirset  <-> 
(toInc `  Y )  e. Dirset ) )
14 unieq 4016 . . . . . . 7  |-  ( t  =  Y  ->  U. t  =  U. Y )
1514fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( t  =  Y  ->  ( F `  U. t )  =  ( F `  U. Y ) )
16 imaeq2 5191 . . . . . . 7  |-  ( t  =  Y  ->  ( F " t )  =  ( F " Y
) )
1716unieqd 4018 . . . . . 6  |-  ( t  =  Y  ->  U. ( F " t )  = 
U. ( F " Y ) )
1815, 17eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( t  =  Y  ->  (
( F `  U. t )  =  U. ( F " t )  <-> 
( F `  U. Y )  =  U. ( F " Y ) ) )
1913, 18imbi12d 312 . . . 4  |-  ( t  =  Y  ->  (
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) )  <-> 
( (toInc `  Y
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. Y )  =  U. ( F
" Y ) ) ) )
2019rspcva 3042 . . 3  |-  ( ( Y  e.  ~P ~P X  /\  A. t  e. 
~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t
)  =  U. ( F " t ) ) )  ->  ( (toInc `  Y )  e. Dirset  ->  ( F `  U. Y
)  =  U. ( F " Y ) ) )
215, 11, 20syl2anc 643 . 2  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X )  -> 
( (toInc `  Y
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. Y )  =  U. ( F
" Y ) ) )
22213impia 1150 1  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X  /\  (toInc `  Y )  e. Dirset )  ->  ( F `  U. Y )  =  U. ( F " Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   dom cdm 4870   "cima 4873   ` cfv 5446  Moorecmre 13797  mrClscmrc 13798  ACScacs 13800  Dirsetcdrs 14374  toInccipo 14567
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ocomp 13540  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-preset 14375  df-drs 14376  df-poset 14393  df-ipo 14568
  Copyright terms: Public domain W3C validator