MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsdrscl Unicode version

Theorem acsdrscl 14525
Description: In an algebraic closure system, closure commutes with directed unions. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
acsdrscl  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X  /\  (toInc `  Y )  e. Dirset )  ->  ( F `  U. Y )  =  U. ( F " Y ) )

Proof of Theorem acsdrscl
Dummy variables  s 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5699 . . . . 5  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  X  e.  dom ACS )
2 pwexg 4326 . . . . 5  |-  ( X  e.  dom ACS  ->  ~P X  e.  _V )
3 elpw2g 4306 . . . . 5  |-  ( ~P X  e.  _V  ->  ( Y  e.  ~P ~P X 
<->  Y  C_  ~P X
) )
41, 2, 33syl 19 . . . 4  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( Y  e.  ~P ~P X  <->  Y  C_  ~P X ) )
54biimpar 472 . . 3  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X )  ->  Y  e.  ~P ~P X )
6 isacs3lem 14521 . . . . . 6  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
7 acsdrscl.f . . . . . . 7  |-  F  =  (mrCls `  C )
87isacs4lem 14523 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) )  -> 
( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) ) )
96, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t
)  =  U. ( F " t ) ) ) )
109simprd 450 . . . 4  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  A. t  e.  ~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t )  =  U. ( F " t ) ) )
1110adantr 452 . . 3  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X )  ->  A. t  e.  ~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t
)  =  U. ( F " t ) ) )
12 fveq2 5670 . . . . . 6  |-  ( t  =  Y  ->  (toInc `  t )  =  (toInc `  Y ) )
1312eleq1d 2455 . . . . 5  |-  ( t  =  Y  ->  (
(toInc `  t )  e. Dirset  <-> 
(toInc `  Y )  e. Dirset ) )
14 unieq 3968 . . . . . . 7  |-  ( t  =  Y  ->  U. t  =  U. Y )
1514fveq2d 5674 . . . . . 6  |-  ( t  =  Y  ->  ( F `  U. t )  =  ( F `  U. Y ) )
16 imaeq2 5141 . . . . . . 7  |-  ( t  =  Y  ->  ( F " t )  =  ( F " Y
) )
1716unieqd 3970 . . . . . 6  |-  ( t  =  Y  ->  U. ( F " t )  = 
U. ( F " Y ) )
1815, 17eqeq12d 2403 . . . . 5  |-  ( t  =  Y  ->  (
( F `  U. t )  =  U. ( F " t )  <-> 
( F `  U. Y )  =  U. ( F " Y ) ) )
1913, 18imbi12d 312 . . . 4  |-  ( t  =  Y  ->  (
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) )  <-> 
( (toInc `  Y
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. Y )  =  U. ( F
" Y ) ) ) )
2019rspcva 2995 . . 3  |-  ( ( Y  e.  ~P ~P X  /\  A. t  e. 
~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t
)  =  U. ( F " t ) ) )  ->  ( (toInc `  Y )  e. Dirset  ->  ( F `  U. Y
)  =  U. ( F " Y ) ) )
215, 11, 20syl2anc 643 . 2  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X )  -> 
( (toInc `  Y
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. Y )  =  U. ( F
" Y ) ) )
22213impia 1150 1  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  Y  C_ 
~P X  /\  (toInc `  Y )  e. Dirset )  ->  ( F `  U. Y )  =  U. ( F " Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   _Vcvv 2901    C_ wss 3265   ~Pcpw 3744   U.cuni 3959   dom cdm 4820   "cima 4823   ` cfv 5396  Moorecmre 13736  mrClscmrc 13737  ACScacs 13739  Dirsetcdrs 14313  toInccipo 14506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-fz 10978  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ocomp 13479  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-preset 14314  df-drs 14315  df-poset 14332  df-ipo 14507
  Copyright terms: Public domain W3C validator