Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfiel Unicode version

Theorem acsfiel 13572
 Description: A set is closed in an algebraic closure system iff it contains all closures of finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isacs2.f mrCls
Assertion
Ref Expression
acsfiel ACS
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem acsfiel
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmre 13570 . . . . 5 ACS Moore
2 mress 13511 . . . . 5 Moore
31, 2sylan 457 . . . 4 ACS
43ex 423 . . 3 ACS
54pm4.71rd 616 . 2 ACS
6 elfvdm 5570 . . . . . 6 ACS ACS
7 elpw2g 4190 . . . . . 6 ACS
86, 7syl 15 . . . . 5 ACS
98biimpar 471 . . . 4 ACS
10 isacs2.f . . . . . . 7 mrCls
1110isacs2 13571 . . . . . 6 ACS Moore
1211simprbi 450 . . . . 5 ACS
1312adantr 451 . . . 4 ACS
14 eleq1 2356 . . . . . 6
15 pweq 3641 . . . . . . . 8
1615ineq1d 3382 . . . . . . 7
17 sseq2 3213 . . . . . . 7
1816, 17raleqbidv 2761 . . . . . 6
1914, 18bibi12d 312 . . . . 5
2019rspcva 2895 . . . 4
219, 13, 20syl2anc 642 . . 3 ACS
2221pm5.32da 622 . 2 ACS
235, 22bitrd 244 1 ACS
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556   cin 3164   wss 3165  cpw 3638   cdm 4705  cfv 5271  cfn 6879  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501  ACScacs 13503 This theorem is referenced by:  acsfiel2  13573  isacs3lem  14285 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507
 Copyright terms: Public domain W3C validator