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Theorem acsfn 13886
Description: Algebraicity of a conditional point closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
Distinct variable groups:    K, a    T, a    V, a    X, a

Proof of Theorem acsfn
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 5491 . . . . . . 7  |-  Fun  (
b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
2 funiunfv 5997 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )  ->  U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ( ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `  c )  =  U. ( ( b  e. 
~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) " ( ~P a  i^i  Fin )
) )
31, 2mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  U_ c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) ( ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `
 c )  = 
U. ( ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) "
( ~P a  i^i 
Fin ) ) )
4 inss1 3563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P a  i^i  Fin )  C_ 
~P a
54sseli 3346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  c  e.  ~P a )
65elpwid 3810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  c  C_  a )
7 elpwi 3809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
a  C_  X )
86, 7sylan9ssr 3364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ~P X  /\  c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
)  ->  c  C_  X )
9 vex 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  c  e. 
_V
109elpw 3807 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ~P X  <->  c  C_  X )
118, 10sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ~P X  /\  c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
)  ->  c  e.  ~P X )
1211adantll 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  /\  c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) )  ->  c  e.  ~P X )
13 eqeq1 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  c  ->  (
b  =  T  <->  c  =  T ) )
1413ifbid 3759 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  c  ->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) )  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
15 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )  =  ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
16 snex 4407 . . . . . . . . . 10  |-  { K }  e.  _V
17 0ex 4341 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
1816, 17ifex 3799 . . . . . . . . 9  |-  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  e.  _V
1914, 15, 18fvmpt 5808 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ~P X  -> 
( ( b  e. 
~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `  c
)  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
2012, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  /\  c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) )  ->  (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `
 c )  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
2120iuneq2dv 4116 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  U_ c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) ( ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) `
 c )  = 
U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
223, 21eqtr3d 2472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  U. (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
" ( ~P a  i^i  Fin ) )  = 
U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
2322sseq1d 3377 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( U. ( ( b  e. 
~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) " ( ~P a  i^i  Fin )
)  C_  a  <->  U_ c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a ) )
24 iunss 4134 . . . . 5  |-  ( U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a
)
25 sseq1 3371 . . . . . . . . 9  |-  ( { K }  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  ->  ( { K }  C_  a  <->  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a
) )
2625bibi1d 312 . . . . . . . 8  |-  ( { K }  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  ->  (
( { K }  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) )  <->  ( if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a )
) ) )
27 sseq1 3371 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  -> 
( (/)  C_  a  <->  if (
c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a ) )
2827bibi1d 312 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  =  if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  -> 
( ( (/)  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a )
)  <->  ( if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) ) )
29 snssg 3934 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  X  ->  ( K  e.  a  <->  { K }  C_  a ) )
3029adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  X  /\  c  =  T )  ->  ( K  e.  a  <->  { K }  C_  a
) )
31 biimt 327 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  T  ->  ( K  e.  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
3231adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  X  /\  c  =  T )  ->  ( K  e.  a  <-> 
( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
3330, 32bitr3d 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  X  /\  c  =  T )  ->  ( { K }  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
34 0ss 3658 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  C_  a
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  c  =  T  ->  (/)  C_  a )
36 pm2.21 103 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  c  =  T  -> 
( c  =  T  ->  K  e.  a ) )
3735, 362thd 233 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  c  =  T  -> 
( (/)  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
3837adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  X  /\  -.  c  =  T
)  ->  ( (/)  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a )
) )
3926, 28, 33, 38ifbothda 3771 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  X  ->  ( if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  ( c  =  T  ->  K  e.  a )
) )
4039ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( K  e.  X  ->  ( A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
4140ad3antlr 713 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
4224, 41syl5bb 250 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( U_ c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) if ( c  =  T ,  { K } ,  (/) )  C_  a  <->  A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )
( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) )
43 sspwb 4415 . . . . . . . . 9  |-  ( a 
C_  X  <->  ~P a  C_ 
~P X )
447, 43sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ~P X  ->  ~P a  C_  ~P X
)
454, 44syl5ss 3361 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( ~P a  i^i 
Fin )  C_  ~P X )
4645adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( ~P a  i^i  Fin )  C_  ~P X )
47 ralss 3411 . . . . . 6  |-  ( ( ~P a  i^i  Fin )  C_  ~P X  -> 
( A. c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) ( c  =  T  ->  K  e.  a )  <->  A. c  e.  ~P  X ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  (
c  =  T  ->  K  e.  a )
) ) )
4846, 47syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ( c  =  T  ->  K  e.  a )  <->  A. c  e.  ~P  X
( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) ) ) )
49 bi2.04 352 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) )  <->  ( c  =  T  ->  ( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
5049ralbii 2731 . . . . . 6  |-  ( A. c  e.  ~P  X
( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) )  <->  A. c  e.  ~P  X ( c  =  T  ->  (
c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
51 elpwg 3808 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  Fin  ->  ( T  e.  ~P X  <->  T 
C_  X ) )
5251biimparc 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin )  ->  T  e.  ~P X
)
5352ad2antlr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  T  e.  ~P X )
54 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  T  ->  (
c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  <->  T  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ) )
5554imbi1d 310 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  T  ->  (
( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a )  <->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
5655ceqsralv 2985 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ~P X  -> 
( A. c  e. 
~P  X ( c  =  T  ->  (
c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a ) )  <->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
5753, 56syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ~P  X
( c  =  T  ->  ( c  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) )  <->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
5850, 57syl5bb 250 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ~P  X
( c  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  ( c  =  T  ->  K  e.  a ) )  <->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  ->  K  e.  a ) ) )
59 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
_V
6059elpw2 4366 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ~P a  <->  T  C_  a
)
61 simplrr 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  T  e.  Fin )
6261biantrud 495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( T  e.  ~P a  <->  ( T  e.  ~P a  /\  T  e.  Fin ) ) )
63 elin 3532 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  <->  ( T  e.  ~P a  /\  T  e.  Fin ) )
6462, 63syl6bbr 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( T  e.  ~P a  <->  T  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ) )
6560, 64syl5rbbr 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( T  e.  ( ~P a  i^i 
Fin )  <->  T  C_  a
) )
6665imbi1d 310 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( ( T  e.  ( ~P a  i^i  Fin )  ->  K  e.  a )  <->  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) ) )
6748, 58, 663bitrd 272 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( A. c  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) ( c  =  T  ->  K  e.  a )  <->  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) ) )
6823, 42, 673bitrrd 273 . . 3  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  a  e.  ~P X
)  ->  ( ( T  C_  a  ->  K  e.  a )  <->  U. (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
" ( ~P a  i^i  Fin ) )  C_  a ) )
6968rabbidva 2949 . 2  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) }  =  { a  e.  ~P X  |  U. (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
" ( ~P a  i^i  Fin ) )  C_  a } )
70 simpll 732 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  X  e.  V )
71 snelpwi 4411 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  X  ->  { K }  e.  ~P X
)
7271ad2antlr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { K }  e.  ~P X )
73 0elpw 4371 . . . . . 6  |-  (/)  e.  ~P X
74 ifcl 3777 . . . . . 6  |-  ( ( { K }  e.  ~P X  /\  (/)  e.  ~P X )  ->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) )  e.  ~P X )
7572, 73, 74sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) )  e.  ~P X )
7675adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  /\  ( T  C_  X  /\  T  e.  Fin ) )  /\  b  e.  ~P X
)  ->  if (
b  =  T ,  { K } ,  (/) )  e.  ~P X
)
7776, 15fmptd 5895 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  -> 
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) : ~P X --> ~P X
)
78 isacs1i 13884 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) : ~P X --> ~P X
)  ->  { a  e.  ~P X  |  U. ( ( b  e. 
~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) ) " ( ~P a  i^i  Fin )
)  C_  a }  e.  (ACS `  X )
)
7970, 77, 78syl2anc 644 . 2  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  U. (
( b  e.  ~P X  |->  if ( b  =  T ,  { K } ,  (/) ) )
" ( ~P a  i^i  Fin ) )  C_  a }  e.  (ACS `  X ) )
8069, 79eqeltrd 2512 1  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( T  C_  X  /\  T  e. 
Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  |  ( T  C_  a  ->  K  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ifcif 3741   ~Pcpw 3801   {csn 3816   U.cuni 4017   U_ciun 4095    e. cmpt 4268   "cima 4883   Fun wfun 5450   -->wf 5452   ` cfv 5456   Fincfn 7111  ACScacs 13812
This theorem is referenced by:  acsfn0  13887  acsfn1  13888  acsfn2  13890  acsfn1p  27486
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-mre 13813  df-acs 13816
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