MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn0 Unicode version

Theorem acsfn0 13578
Description: Algebraicity of a point closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn0  |-  ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  K  e.  a }  e.  (ACS `  X ) )
Distinct variable groups:    K, a    V, a    X, a

Proof of Theorem acsfn0
StepHypRef Expression
1 0ss 3496 . . . . 5  |-  (/)  C_  a
21a1bi 327 . . . 4  |-  ( K  e.  a  <->  ( (/)  C_  a  ->  K  e.  a ) )
32a1i 10 . . 3  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( K  e.  a  <-> 
( (/)  C_  a  ->  K  e.  a ) ) )
43rabbiia 2791 . 2  |-  { a  e.  ~P X  |  K  e.  a }  =  { a  e.  ~P X  |  ( (/)  C_  a  ->  K  e.  a ) }
5 0ss 3496 . . 3  |-  (/)  C_  X
6 0fin 7103 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
7 acsfn 13577 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X
)  /\  ( (/)  C_  X  /\  (/)  e.  Fin )
)  ->  { a  e.  ~P X  |  (
(/)  C_  a  ->  K  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
85, 6, 7mpanr12 666 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  ( (/)  C_  a  ->  K  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
94, 8syl5eqel 2380 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  K  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  K  e.  a }  e.  (ACS `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   ` cfv 5271   Fincfn 6879  ACScacs 13503
This theorem is referenced by:  submacs  14458
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-en 6880  df-fin 6883  df-mre 13504  df-acs 13507
  Copyright terms: Public domain W3C validator