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Theorem acsfn1p 27178
Description: Construction of a closure rule from a one-parameter partial operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1p  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  (
a  i^i  Y ) E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Distinct variable groups:    a, b, V    E, a    X, a, b    Y, a, b
Allowed substitution hint:    E( b)

Proof of Theorem acsfn1p
StepHypRef Expression
1 riinrab 4109 . . 3  |-  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  ( X  i^i  Y
) { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  ( X  i^i  Y
) ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }
2 elpwi 3752 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
a  C_  X )
3 ssrin 3511 . . . . . . . 8  |-  ( a 
C_  X  ->  (
a  i^i  Y )  C_  ( X  i^i  Y
) )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ~P X  -> 
( a  i^i  Y
)  C_  ( X  i^i  Y ) )
54adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  /\  a  e.  ~P X )  ->  (
a  i^i  Y )  C_  ( X  i^i  Y
) )
6 ralss 3354 . . . . . 6  |-  ( ( a  i^i  Y ) 
C_  ( X  i^i  Y )  ->  ( A. b  e.  ( a  i^i  Y ) E  e.  a  <->  A. b  e.  ( X  i^i  Y ) ( b  e.  ( a  i^i  Y )  ->  E  e.  a ) ) )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  /\  a  e.  ~P X )  ->  ( A. b  e.  (
a  i^i  Y ) E  e.  a  <->  A. b  e.  ( X  i^i  Y
) ( b  e.  ( a  i^i  Y
)  ->  E  e.  a ) ) )
8 inss2 3507 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
98sseli 3289 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( X  i^i  Y )  ->  b  e.  Y )
109biantrud 494 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( b  e.  a  <->  ( b  e.  a  /\  b  e.  Y ) ) )
11 vex 2904 . . . . . . . . . 10  |-  b  e. 
_V
1211snss 3871 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  a  <->  { b }  C_  a )
1312bicomi 194 . . . . . . . 8  |-  ( { b }  C_  a  <->  b  e.  a )
14 elin 3475 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( a  i^i 
Y )  <->  ( b  e.  a  /\  b  e.  Y ) )
1510, 13, 143bitr4g 280 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( {
b }  C_  a  <->  b  e.  ( a  i^i 
Y ) ) )
1615imbi1d 309 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a )  <->  ( b  e.  ( a  i^i  Y
)  ->  E  e.  a ) ) )
1716ralbiia 2683 . . . . 5  |-  ( A. b  e.  ( X  i^i  Y ) ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a )  <->  A. b  e.  ( X  i^i  Y ) ( b  e.  ( a  i^i  Y )  ->  E  e.  a )
)
187, 17syl6rbbr 256 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  /\  a  e.  ~P X )  ->  ( A. b  e.  ( X  i^i  Y ) ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a )  <->  A. b  e.  ( a  i^i  Y ) E  e.  a ) )
1918rabbidva 2892 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  ( X  i^i  Y ) ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  =  {
a  e.  ~P X  |  A. b  e.  ( a  i^i  Y ) E  e.  a } )
201, 19syl5eq 2433 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  ( X  i^i  Y
) { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  =  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  ( a  i^i  Y
) E  e.  a } )
21 mreacs 13812 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
2221adantr 452 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X ) )
23 ssralv 3352 . . . . . 6  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  Y  ->  ( A. b  e.  Y  E  e.  X  ->  A. b  e.  ( X  i^i  Y ) E  e.  X ) )
248, 23ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( A. b  e.  Y  E  e.  X  ->  A. b  e.  ( X  i^i  Y
) E  e.  X
)
25 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  E  e.  X
)  ->  X  e.  V )
26 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  E  e.  X
)  ->  E  e.  X )
27 inss1 3506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
2827sseli 3289 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( X  i^i  Y )  ->  b  e.  X )
2928ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  E  e.  X
)  ->  b  e.  X )
3029snssd 3888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  E  e.  X
)  ->  { b }  C_  X )
31 snfi 7125 . . . . . . . . 9  |-  { b }  e.  Fin
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  E  e.  X
)  ->  { b }  e.  Fin )
33 acsfn 13813 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  E  e.  X
)  /\  ( {
b }  C_  X  /\  { b }  e.  Fin ) )  ->  { a  e.  ~P X  | 
( { b } 
C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) )
3425, 26, 30, 32, 33syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  E  e.  X
)  ->  { a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) )
3534ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  b  e.  ( X  i^i  Y ) )  -> 
( E  e.  X  ->  { a  e.  ~P X  |  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X ) ) )
3635ralimdva 2729 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. b  e.  ( X  i^i  Y ) E  e.  X  ->  A. b  e.  ( X  i^i  Y
) { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) ) )
3724, 36syl5 30 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. b  e.  Y  E  e.  X  ->  A. b  e.  ( X  i^i  Y ) { a  e.  ~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS `  X
) ) )
3837imp 419 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  A. b  e.  ( X  i^i  Y
) { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) )
39 mreriincl 13752 . . 3  |-  ( ( (ACS `  X )  e.  (Moore `  ~P X )  /\  A. b  e.  ( X  i^i  Y
) { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) }  e.  (ACS
`  X ) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  ( X  i^i  Y ) { a  e.  ~P X  |  ( {
b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS
`  X ) )
4022, 38, 39syl2anc 643 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ b  e.  ( X  i^i  Y
) { a  e. 
~P X  |  ( { b }  C_  a  ->  E  e.  a ) } )  e.  (ACS `  X )
)
4120, 40eqeltrrd 2464 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. b  e.  Y  E  e.  X )  ->  { a  e.  ~P X  |  A. b  e.  (
a  i^i  Y ) E  e.  a }  e.  (ACS `  X )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   A.wral 2651   {crab 2655    i^i cin 3264    C_ wss 3265   ~Pcpw 3744   {csn 3759   |^|_ciin 4038   ` cfv 5396   Fincfn 7047  Moorecmre 13736  ACScacs 13739
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-1o 6662  df-en 7048  df-fin 7051  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743
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