Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsmap2d Unicode version

Theorem acsmap2d 14298
 Description: In an algebraic closure system, if and have the same closure and is independent, then there is a map from into the set of finite subsets of such that equals the union of . This is proven by taking the map from acsmapd 14297 and observing that, since and have the same closure, the closure of must contain . Since is independent, by mrissmrcd 13558, must equal . See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmap2d.1 ACS
acsmap2d.2 mrCls
acsmap2d.3 mrInd
acsmap2d.4
acsmap2d.5
acsmap2d.6
Assertion
Ref Expression
acsmap2d
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem acsmap2d
StepHypRef Expression
1 acsmap2d.1 . . 3 ACS
2 acsmap2d.2 . . 3 mrCls
3 acsmap2d.3 . . . 4 mrInd
41acsmred 13574 . . . 4 Moore
5 acsmap2d.4 . . . 4
63, 4, 5mrissd 13554 . . 3
7 acsmap2d.5 . . . . 5
84, 2, 7mrcssidd 13543 . . . 4
9 acsmap2d.6 . . . 4
108, 9sseqtr4d 3228 . . 3
111, 2, 6, 10acsmapd 14297 . 2
12 simprl 732 . . . . 5
134adantr 451 . . . . . 6 Moore
145adantr 451 . . . . . . . . 9
153, 13, 14mrissd 13554 . . . . . . . 8
1613, 2, 15mrcssidd 13543 . . . . . . 7
179adantr 451 . . . . . . . 8
18 simprr 733 . . . . . . . . . 10
1913, 2mrcssvd 13541 . . . . . . . . . 10
2013, 2, 18, 19mrcssd 13542 . . . . . . . . 9
21 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . 14
2221unissd 3867 . . . . . . . . . . . . 13
23 unifpw 7174 . . . . . . . . . . . . 13
2422, 23syl6sseq 3237 . . . . . . . . . . . 12
2524ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11
2625, 15sstrd 3202 . . . . . . . . . 10
2713, 2, 26mrcidmd 13544 . . . . . . . . 9
2820, 27sseqtrd 3227 . . . . . . . 8
2917, 28eqsstrd 3225 . . . . . . 7
3016, 29sstrd 3202 . . . . . 6
3113, 2, 3, 30, 25, 14mrissmrcd 13558 . . . . 5
3212, 31jca 518 . . . 4
3332ex 423 . . 3
3433eximdv 1612 . 2
3511, 34mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358  wex 1531   wceq 1632   wcel 1696   cin 3164   wss 3165  cpw 3638  cuni 3843   crn 4706  wf 5267  cfv 5271  cfn 6879  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501  mrIndcmri 13502  ACScacs 13503 This theorem is referenced by:  acsinfd  14299  acsdomd  14300 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-reg 7322  ax-inf2 7358  ax-ac2 8105  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-r1 7452  df-rank 7453  df-card 7588  df-ac 7759  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ocomp 13245  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-mri 13506  df-acs 13507  df-preset 14078  df-drs 14079  df-poset 14096  df-ipo 14271
 Copyright terms: Public domain W3C validator