Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsmapd Unicode version

Theorem acsmapd 14281
 Description: In an algebraic closure system, if is contained in the closure of , there is a map from into the set of finite subsets of such that the closure of contains . This is proven by applying acsficl2d 14279 to each element of . See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmapd.1 ACS
acsmapd.2 mrCls
acsmapd.3
acsmapd.4
Assertion
Ref Expression
acsmapd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem acsmapd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmapd.4 . . . 4
2 fvex 5539 . . . . 5
32ssex 4158 . . . 4
41, 3syl 15 . . 3
51sseld 3179 . . . . 5
6 acsmapd.1 . . . . . 6 ACS
7 acsmapd.2 . . . . . 6 mrCls
8 acsmapd.3 . . . . . 6
96, 7, 8acsficl2d 14279 . . . . 5
105, 9sylibd 205 . . . 4
1110ralrimiv 2625 . . 3
12 fveq2 5525 . . . . 5
1312eleq2d 2350 . . . 4
1413ac6sg 8115 . . 3
154, 11, 14sylc 56 . 2
16 simprl 732 . . . . 5
17 nfv 1605 . . . . . . . 8
18 nfv 1605 . . . . . . . . 9
19 nfra1 2593 . . . . . . . . 9
2018, 19nfan 1771 . . . . . . . 8
2117, 20nfan 1771 . . . . . . 7
226ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11 ACS
2322acsmred 13558 . . . . . . . . . 10 Moore
24 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . 14
25 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . 14
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
27 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . . . 13
2826, 27sylancom 648 . . . . . . . . . . . 12
2928snssd 3760 . . . . . . . . . . 11
3029unissd 3851 . . . . . . . . . 10
31 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . 14
3231unissd 3851 . . . . . . . . . . . . 13
33 unifpw 7158 . . . . . . . . . . . . 13
3432, 33syl6sseq 3224 . . . . . . . . . . . 12
3524, 34syl 15 . . . . . . . . . . 11
368ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
3735, 36sstrd 3189 . . . . . . . . . 10
3823, 7, 30, 37mrcssd 13526 . . . . . . . . 9
39 simprr 733 . . . . . . . . . . 11
4039r19.21bi 2641 . . . . . . . . . 10
41 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12
4241unisn 3843 . . . . . . . . . . 11
4342fveq2i 5528 . . . . . . . . . 10
4440, 43syl6eleqr 2374 . . . . . . . . 9
4538, 44sseldd 3181 . . . . . . . 8
4645ex 423 . . . . . . 7
4721, 46alrimi 1745 . . . . . 6
48 dfss2 3169 . . . . . 6
4947, 48sylibr 203 . . . . 5
5016, 49jca 518 . . . 4
5150ex 423 . . 3
5251eximdv 1608 . 2
5315, 52mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358  wal 1527  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544  cvv 2788   cin 3151   wss 3152  cpw 3625  csn 3640  cuni 3827   crn 4690   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  cfn 6863  mrClscmrc 13485  ACScacs 13487 This theorem is referenced by:  acsmap2d  14282 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-r1 7436  df-rank 7437  df-card 7572  df-ac 7743  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ocomp 13229  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-preset 14062  df-drs 14063  df-poset 14080  df-ipo 14255
 Copyright terms: Public domain W3C validator