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Theorem acsmapd 14281
Description: In an algebraic closure system, if  T is contained in the closure of  S, there is a map  f from  T into the set of finite subsets of  S such that the closure of  U. ran  f contains  T. This is proven by applying acsficl2d 14279 to each element of  T. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmapd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
acsmapd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
acsmapd.3  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
acsmapd.4  |-  ( ph  ->  T  C_  ( N `  S ) )
Assertion
Ref Expression
acsmapd  |-  ( ph  ->  E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  T  C_  ( N `
 U. ran  f
) ) )
Distinct variable groups:    T, f    ph, f    S, f    f, N
Allowed substitution hints:    A( f)    X( f)

Proof of Theorem acsmapd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmapd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C_  ( N `  S ) )
2 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( N `
 S )  e. 
_V
32ssex 4158 . . . 4  |-  ( T 
C_  ( N `  S )  ->  T  e.  _V )
41, 3syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
51sseld 3179 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  T  ->  x  e.  ( N `
 S ) ) )
6 acsmapd.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
7 acsmapd.2 . . . . . 6  |-  N  =  (mrCls `  A )
8 acsmapd.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
96, 7, 8acsficl2d 14279 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  S )  <->  E. y  e.  ( ~P S  i^i  Fin )
x  e.  ( N `
 y ) ) )
105, 9sylibd 205 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  T  ->  E. y  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) x  e.  ( N `  y )
) )
1110ralrimiv 2625 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  T  E. y  e.  ( ~P S  i^i  Fin )
x  e.  ( N `
 y ) )
12 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( N `  y )  =  ( N `  ( f `  x
) ) )
1312eleq2d 2350 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  (
x  e.  ( N `
 y )  <->  x  e.  ( N `  ( f `
 x ) ) ) )
1413ac6sg 8115 . . 3  |-  ( T  e.  _V  ->  ( A. x  e.  T  E. y  e.  ( ~P S  i^i  Fin )
x  e.  ( N `
 y )  ->  E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) ) )
154, 11, 14sylc 56 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )
16 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) )  -> 
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )
)
17 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
18 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )
19 nfra1 2593 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) )
2018, 19nfan 1771 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `
 x ) ) )
2117, 20nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )
226ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
2322acsmred 13558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
24 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  f : T
--> ( ~P S  i^i  Fin ) )
25 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  ->  f  Fn  T )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  f  Fn  T )
27 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  Fn  T  /\  x  e.  T )  ->  ( f `  x
)  e.  ran  f
)
2826, 27sylancom 648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  ( f `  x )  e.  ran  f )
2928snssd 3760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  { (
f `  x ) }  C_  ran  f )
3029unissd 3851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  U. { ( f `  x ) }  C_  U. ran  f
)
31 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  ->  ran  f  C_  ( ~P S  i^i  Fin )
)
3231unissd 3851 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  ->  U. ran  f  C_  U. ( ~P S  i^i  Fin ) )
33 unifpw 7158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( ~P S  i^i  Fin )  =  S
3432, 33syl6sseq 3224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  ->  U. ran  f  C_  S )
3524, 34syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  U. ran  f  C_  S )
368ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  S  C_  X
)
3735, 36sstrd 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  U. ran  f  C_  X )
3823, 7, 30, 37mrcssd 13526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  ( N `  U. { ( f `
 x ) } )  C_  ( N `  U. ran  f ) )
39 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) )  ->  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) )
4039r19.21bi 2641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  x  e.  ( N `  ( f `
 x ) ) )
41 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
4241unisn 3843 . . . . . . . . . . 11  |-  U. {
( f `  x
) }  =  ( f `  x )
4342fveq2i 5528 . . . . . . . . . 10  |-  ( N `
 U. { ( f `  x ) } )  =  ( N `  ( f `
 x ) )
4440, 43syl6eleqr 2374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  x  e.  ( N `  U. {
( f `  x
) } ) )
4538, 44sseldd 3181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) ) )  /\  x  e.  T
)  ->  x  e.  ( N `  U. ran  f ) )
4645ex 423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) )  -> 
( x  e.  T  ->  x  e.  ( N `
 U. ran  f
) ) )
4721, 46alrimi 1745 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) )  ->  A. x ( x  e.  T  ->  x  e.  ( N `  U. ran  f ) ) )
48 dfss2 3169 . . . . . 6  |-  ( T 
C_  ( N `  U. ran  f )  <->  A. x
( x  e.  T  ->  x  e.  ( N `
 U. ran  f
) ) )
4947, 48sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) )  ->  T  C_  ( N `  U. ran  f ) )
5016, 49jca 518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) ) )  -> 
( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  T  C_  ( N `  U. ran  f
) ) )
5150ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  (
f `  x )
) )  ->  (
f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  T  C_  ( N `
 U. ran  f
) ) ) )
5251eximdv 1608 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  T  x  e.  ( N `  ( f `  x
) ) )  ->  E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  T  C_  ( N `  U. ran  f ) ) ) )
5315, 52mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  T  C_  ( N `
 U. ran  f
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   Fincfn 6863  mrClscmrc 13485  ACScacs 13487
This theorem is referenced by:  acsmap2d  14282
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-r1 7436  df-rank 7437  df-card 7572  df-ac 7743  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ocomp 13229  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-preset 14062  df-drs 14063  df-poset 14080  df-ipo 14255
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