Theorem add20 5602

Description: Two nonnegative numbers are zero iff their sum is zero.

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
add20	|- ((0 <_ A /\ 0 <_ B) -> ((A + B) = 0 <-> (A = 0 /\ B = 0)))

Proof of Theorem add20

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . . . . . . . 9 |- A e. RR
2		lt.2	. . . . . . . . 9 |- B e. RR
3	1, 2	readdcl 5334	. . . . . . . 8 |- (A + B) e. RR
4		0re 5440	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
5	3, 4	lttri3 5573	. . . . . . 7 |- ((A + B) = 0 <-> (-. (A + B) < 0 /\ -. 0 < (A + B)))
6	5	pm3.27bi 326	. . . . . 6 |- ((A + B) = 0 -> -. 0 < (A + B))
7	1, 2	addgt0 5598	. . . . . 6 |- ((0 < A /\ 0 < B) -> 0 < (A + B))
8	6, 7	nsyl3 119	. . . . 5 |- ((0 < A /\ 0 < B) -> -. (A + B) = 0)
9	8	pm2.21d 78	. . . 4 |- ((0 < A /\ 0 < B) -> ((A + B) = 0 -> (A = 0 /\ B = 0)))
10		opreq1 3968	. . . . . . . 8 |- (0 = A -> (0 + B) = (A + B))
11	2	recn 5314	. . . . . . . . 9 |- B e. CC
12	11	addid2 5331	. . . . . . . 8 |- (0 + B) = B
13	10, 12	syl5eqr 1521	. . . . . . 7 |- (0 = A -> B = (A + B))
14	13	eqeq1d 1483	. . . . . 6 |- (0 = A -> (B = 0 <-> (A + B) = 0))
15	14	biimprd 154	. . . . 5 |- (0 = A -> ((A + B) = 0 -> B = 0))
16		eqcom 1477	. . . . . 6 |- (0 = A <-> A = 0)
17	16	biimp 151	. . . . 5 |- (0 = A -> A = 0)
18	15, 17	jctild 601	. . . 4 |- (0 = A -> ((A + B) = 0 -> (A = 0 /\ B = 0)))
19		opreq2 3969	. . . . . . . 8 |- (0 = B -> (A + 0) = (A + B))
20	1	recn 5314	. . . . . . . . 9 |- A e. CC
21	20	addid1 5330	. . . . . . . 8 |- (A + 0) = A
22	19, 21	syl5eqr 1521	. . . . . . 7 |- (0 = B -> A = (A + B))
23	22	eqeq1d 1483	. . . . . 6 |- (0 = B -> (A = 0 <-> (A + B) = 0))
24	23	biimprd 154	. . . . 5 |- (0 = B -> ((A + B) = 0 -> A = 0))
25		eqcom 1477	. . . . . 6 |- (0 = B <-> B = 0)
26	25	biimp 151	. . . . 5 |- (0 = B -> B = 0)
27	24, 26	jctird 602	. . . 4 |- (0 = B -> ((A + B) = 0 -> (A = 0 /\ B = 0)))
28	9, 18, 27	ccase2 757	. . 3 |- (((0 < A \/ 0 = A) /\ (0 < B \/ 0 = B)) -> ((A + B) = 0 -> (A = 0 /\ B = 0)))
29	4, 1	leloe 5575	. . 3 |- (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A))
30	4, 2	leloe 5575	. . 3 |- (0 <_ B <-> (0 < B \/ 0 = B))
31	28, 29, 30	syl2anb 455	. 2 |- ((0 <_ A /\ 0 <_ B) -> ((A + B) = 0 -> (A = 0 /\ B = 0)))
32		opreq1 3968	. . 3 |- (A = 0 -> (A + B) = (0 + B))
33		opreq2 3969	. . . 4 |- (B = 0 -> (0 + B) = (0 + 0))
34		0cn 5328	. . . . 5 |- 0 e. CC
35	34	addid1 5330	. . . 4 |- (0 + 0) = 0
36	33, 35	syl6eq 1523	. . 3 |- (B = 0 -> (0 + B) = 0)
37	32, 36	sylan9eq 1527	. 2 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> (A + B) = 0)
38	31, 37	impbid1 517	1 |- ((0 <_ A /\ 0 <_ B) -> ((A + B) = 0 <-> (A = 0 /\ B = 0)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234   + caddc 5237   <_ cle 5295   < clt 5486

This theorem is referenced by:  abs00 6842

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491

Copyright terms: Public domain