Theorem addasspq 5035

Description: Addition of positive fractions is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
addasspq.1	|- B e. V
addasspq.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
addasspq	|- ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C))

Proof of Theorem addasspq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 5010	. . 3 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
2		addpipq 5026	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q +Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>.] ~Q )
3		addpipq 5026	. . 3 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ([<.z, w>.] ~Q +Q [<.v, u>.] ~Q ) = [<.((z .N u) +N (w .N v)), (w .N u)>.] ~Q )
4		addpipq 5026	. . 3 |- (((((x .N w) +N (y .N z)) e. N. /\ (y .N w) e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ([<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>.] ~Q +Q [<.v, u>.] ~Q ) = [<.((((x .N w) +N (y .N z)) .N u) +N ((y .N w) .N v)), ((y .N w) .N u)>.] ~Q )
5		addpipq 5026	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (((z .N u) +N (w .N v)) e. N. /\ (w .N u) e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q +Q [<.((z .N u) +N (w .N v)), (w .N u)>.] ~Q ) = [<.((x .N (w .N u)) +N (y .N ((z .N u) +N (w .N v)))), (y .N (w .N u))>.] ~Q )
6		addclpi 4992	. . . . . 6 |- (((x .N w) e. N. /\ (y .N z) e. N.) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
7		mulclpi 4993	. . . . . 6 |- ((x e. N. /\ w e. N.) -> (x .N w) e. N.)
8		mulclpi 4993	. . . . . 6 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> (y .N z) e. N.)
9	6, 7, 8	syl2an 454	. . . . 5 |- (((x e. N. /\ w e. N.) /\ (y e. N. /\ z e. N.)) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
10	9	an42s 508	. . . 4 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
11		mulclpi 4993	. . . . 5 |- ((y e. N. /\ w e. N.) -> (y .N w) e. N.)
12	11	ad2ant2l 408	. . . 4 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> (y .N w) e. N.)
13	10, 12	jca 288	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> (((x .N w) +N (y .N z)) e. N. /\ (y .N w) e. N.))
14		addclpi 4992	. . . . . 6 |- (((z .N u) e. N. /\ (w .N v) e. N.) -> ((z .N u) +N (w .N v)) e. N.)
15		mulclpi 4993	. . . . . 6 |- ((z e. N. /\ u e. N.) -> (z .N u) e. N.)
16		mulclpi 4993	. . . . . 6 |- ((w e. N. /\ v e. N.) -> (w .N v) e. N.)
17	14, 15, 16	syl2an 454	. . . . 5 |- (((z e. N. /\ u e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> ((z .N u) +N (w .N v)) e. N.)
18	17	an42s 508	. . . 4 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ((z .N u) +N (w .N v)) e. N.)
19		mulclpi 4993	. . . . 5 |- ((w e. N. /\ u e. N.) -> (w .N u) e. N.)
20	19	ad2ant2l 408	. . . 4 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> (w .N u) e. N.)
21	18, 20	jca 288	. . 3 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> (((z .N u) +N (w .N v)) e. N. /\ (w .N u) e. N.))
22		oprex 3968	. . . . 5 |- (y .N (z .N u)) e. V
23		oprex 3968	. . . . 5 |- (y .N (w .N v)) e. V
24	22, 23	addasspi 4995	. . . 4 |- (((x .N (w .N u)) +N (y .N (z .N u))) +N (y .N (w .N v))) = ((x .N (w .N u)) +N ((y .N (z .N u)) +N (y .N (w .N v))))
25		visset 1804	. . . . . 6 |- x e. V
26		visset 1804	. . . . . 6 |- y e. V
27		visset 1804	. . . . . 6 |- w e. V
28		visset 1804	. . . . . . 7 |- f e. V
29		visset 1804	. . . . . . 7 |- g e. V
30	28, 29	mulcompi 4996	. . . . . 6 |- (f .N g) = (g .N f)
31		visset 1804	. . . . . . 7 |- h e. V
32	29, 31	distrpi 4998	. . . . . 6 |- (f .N (g +N h)) = ((f .N g) +N (f .N h))
33		visset 1804	. . . . . 6 |- z e. V
34		visset 1804	. . . . . 6 |- u e. V
35	29, 31	mulasspi 4997	. . . . . 6 |- ((f .N g) .N h) = (f .N (g .N h))
36	25, 26, 27, 30, 32, 33, 34, 35	caoprdilem 4054	. . . . 5 |- (((x .N w) +N (y .N z)) .N u) = ((x .N (w .N u)) +N (y .N (z .N u)))
37		visset 1804	. . . . . 6 |- v e. V
38	27, 37	mulasspi 4997	. . . . 5 |- ((y .N w) .N v) = (y .N (w .N v))
39	36, 38	opreq12i 3958	. . . 4 |- ((((x .N w) +N (y .N z)) .N u) +N ((y .N w) .N v)) = (((x .N (w .N u)) +N (y .N (z .N u))) +N (y .N (w .N v)))
40		oprex 3968	. . . . . 6 |- (z .N u) e. V
41		oprex 3968	. . . . . 6 |- (w .N v) e. V
42	40, 41	distrpi 4998	. . . . 5 |- (y .N ((z .N u) +N (w .N v))) = ((y .N (z .N u)) +N (y .N (w .N v)))
43	42	opreq2i 3957	. . . 4 |- ((x .N (w .N u)) +N (y .N ((z .N u) +N (w .N v)))) = ((x .N (w .N u)) +N ((y .N (z .N u)) +N (y .N (w .N v))))
44	24, 39, 43	3eqtr4 1497	. . 3 |- ((((x .N w) +N (y .N z)) .N u) +N ((y .N w) .N v)) = ((x .N (w .N u)) +N (y .N ((z .N u) +N (w .N v))))
45	27, 34	mulasspi 4997	. . 3 |- ((y .N w) .N u) = (y .N (w .N u))
46	1, 2, 3, 4, 5, 13, 21, 44, 45	ecoprass 4304	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q.) -> ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C)))
47		addasspq.1	. . 3 |- B e. V
48		dmaddpq 5031	. . 3 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
49		addasspq.2	. . 3 |- C e. V
50		0npq 5022	. . 3 |- -. (/) e. Q.
51	47, 48, 49, 50	ndmoprass 4034	. 2 |- (-. (A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q.) -> ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C)))
52	46, 51	pm2.61i 126	1 |- ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C))

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802  (class class class)co 3948  N.cnpi 4944   +N cpli 4945   .N cmi 4946   ~Q ceq 4950  Q.cnq 4951   +Q cplq 4953

This theorem is referenced by:  ltaddpq 5051  ltbtwnpq 5056  addasspr 5096  prlem934a 5109  ltexprlem7 5120

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-plpq 5007  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011

Copyright terms: Public domain