Theorem addasssr 5169

Description: Addition of signed reals is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
addasssr.1	|- B e. V
addasssr.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
addasssr	|- ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C))

Proof of Theorem addasssr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5139	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		addsrpr 5156	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.z, w>.] ~R ) = [<.(x +P. z), (y +P. w)>.] ~R )
3		addsrpr 5156	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.z, w>.] ~R +R [<.v, u>.] ~R ) = [<.(z +P. v), (w +P. u)>.] ~R )
4		addsrpr 5156	. . 3 |- ((((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.(x +P. z), (y +P. w)>.] ~R +R [<.v, u>.] ~R ) = [<.((x +P. z) +P. v), ((y +P. w) +P. u)>.] ~R )
5		addsrpr 5156	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ ((z +P. v) e. P. /\ (w +P. u) e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.(z +P. v), (w +P. u)>.] ~R ) = [<.(x +P. (z +P. v)), (y +P. (w +P. u))>.] ~R )
6		addclpr 5092	. . . . 5 |- ((x e. P. /\ z e. P.) -> (x +P. z) e. P.)
7		addclpr 5092	. . . . 5 |- ((y e. P. /\ w e. P.) -> (y +P. w) e. P.)
8	6, 7	anim12i 333	. . . 4 |- (((x e. P. /\ z e. P.) /\ (y e. P. /\ w e. P.)) -> ((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.))
9	8	an4s 507	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.))
10		addclpr 5092	. . . . 5 |- ((z e. P. /\ v e. P.) -> (z +P. v) e. P.)
11		addclpr 5092	. . . . 5 |- ((w e. P. /\ u e. P.) -> (w +P. u) e. P.)
12	10, 11	anim12i 333	. . . 4 |- (((z e. P. /\ v e. P.) /\ (w e. P. /\ u e. P.)) -> ((z +P. v) e. P. /\ (w +P. u) e. P.))
13	12	an4s 507	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ((z +P. v) e. P. /\ (w +P. u) e. P.))
14		visset 1804	. . . 4 |- z e. V
15		visset 1804	. . . 4 |- v e. V
16	14, 15	addasspr 5096	. . 3 |- ((x +P. z) +P. v) = (x +P. (z +P. v))
17		visset 1804	. . . 4 |- w e. V
18		visset 1804	. . . 4 |- u e. V
19	17, 18	addasspr 5096	. . 3 |- ((y +P. w) +P. u) = (y +P. (w +P. u))
20	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 16, 19	ecoprass 4304	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C)))
21		addasssr.1	. . 3 |- B e. V
22		dmaddsr 5166	. . 3 |- dom +R = (R. X. R.)
23		addasssr.2	. . 3 |- C e. V
24		0nsr 5160	. . 3 |- -. (/) e. R.
25	21, 22, 23, 24	ndmoprass 4034	. 2 |- (-. (A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C)))
26	20, 25	pm2.61i 126	1 |- ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C))

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802  (class class class)co 3948  P.cnp 4957   +P. cpp 4959   ~R cer 4964  R.cnr 4965   +R cplr 4969

This theorem is referenced by:  supsrlem2 5198  axaddass 5249  axmulass 5250  axdistr 5251

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140

Copyright terms: Public domain