Theorem addasssr 5351

Description: Addition of signed reals is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
addasssr.1	|- B e. V
addasssr.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
addasssr	|- ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C))

Proof of Theorem addasssr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5321	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		addsrpr 5338	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.z, w>.] ~R ) = [<.(x +P. z), (y +P. w)>.] ~R )
3		addsrpr 5338	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.z, w>.] ~R +R [<.v, u>.] ~R ) = [<.(z +P. v), (w +P. u)>.] ~R )
4		addsrpr 5338	. . 3 |- ((((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.(x +P. z), (y +P. w)>.] ~R +R [<.v, u>.] ~R ) = [<.((x +P. z) +P. v), ((y +P. w) +P. u)>.] ~R )
5		addsrpr 5338	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ ((z +P. v) e. P. /\ (w +P. u) e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.(z +P. v), (w +P. u)>.] ~R ) = [<.(x +P. (z +P. v)), (y +P. (w +P. u))>.] ~R )
6		addclpr 5274	. . . . 5 |- ((x e. P. /\ z e. P.) -> (x +P. z) e. P.)
7		addclpr 5274	. . . . 5 |- ((y e. P. /\ w e. P.) -> (y +P. w) e. P.)
8	6, 7	anim12i 331	. . . 4 |- (((x e. P. /\ z e. P.) /\ (y e. P. /\ w e. P.)) -> ((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.))
9	8	an4s 511	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.))
10		addclpr 5274	. . . . 5 |- ((z e. P. /\ v e. P.) -> (z +P. v) e. P.)
11		addclpr 5274	. . . . 5 |- ((w e. P. /\ u e. P.) -> (w +P. u) e. P.)
12	10, 11	anim12i 331	. . . 4 |- (((z e. P. /\ v e. P.) /\ (w e. P. /\ u e. P.)) -> ((z +P. v) e. P. /\ (w +P. u) e. P.))
13	12	an4s 511	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ((z +P. v) e. P. /\ (w +P. u) e. P.))
14		visset 1859	. . . 4 |- z e. V
15		visset 1859	. . . 4 |- v e. V
16	14, 15	addasspr 5278	. . 3 |- ((x +P. z) +P. v) = (x +P. (z +P. v))
17		visset 1859	. . . 4 |- w e. V
18		visset 1859	. . . 4 |- u e. V
19	17, 18	addasspr 5278	. . 3 |- ((y +P. w) +P. u) = (y +P. (w +P. u))
20	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 16, 19	ecoprass 4461	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C)))
21		addasssr.1	. . 3 |- B e. V
22		dmaddsr 5348	. . 3 |- dom +R = (R. X. R.)
23		addasssr.2	. . 3 |- C e. V
24		0nsr 5342	. . 3 |- -. (/) e. R.
25	21, 22, 23, 24	ndmoprass 4109	. 2 |- (-. (A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C)))
26	20, 25	pm2.61i 124	1 |- ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C))

Syntax hints:   /\ wa 221   /\ w3a 781   = wceq 992   e. wcel 994  Vcvv 1857  (class class class)co 4021  P.cnp 5139   +P. cpp 5141   ~R cer 5146  R.cnr 5147   +R cplr 5151

This theorem is referenced by:  supsrlem2 5380  axaddass 5431  axmulass 5432  axdistr 5433

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-plp 5242  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322

Copyright terms: Public domain