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Theorem addcanrg 25770
Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
addcanrg.1  |-  + w  =  (  + cv `  N )
Assertion
Ref Expression
addcanrg  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w B )  =  ( A + w C
)  <->  B  =  C
) )

Proof of Theorem addcanrg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcanrg.1 . . . . 5  |-  + w  =  (  + cv `  N )
21oveqi 5887 . . . 4  |-  ( A + w B )  =  ( A (  + cv `  N
) B )
31oveqi 5887 . . . 4  |-  ( A + w C )  =  ( A (  + cv `  N
) C )
42, 3eqeq12i 2309 . . 3  |-  ( ( A + w B
)  =  ( A + w C )  <-> 
( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N ) C ) )
5 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
6 simpr1 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
75, 6jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )
87adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  ( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )
9 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( 0 cv `  N )  =  ( 0 cv
`  N )
101, 9cnegvex2b 25765 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  E. x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( x + w A
)  =  ( 0 cv `  N ) )
118, 10syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  ( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  E. x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ( x + w A )  =  ( 0 cv `  N
) )
12 oveq 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( + w  =  (  + cv `  N )  ->  ( x + w A )  =  ( x (  + cv `  N ) A ) )
1312eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( + w  =  (  + cv `  N )  ->  ( ( x + w A )  =  ( 0 cv
`  N )  <->  ( x
(  + cv `  N
) A )  =  ( 0 cv `  N
) ) )
14 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N
) C )  -> 
( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) B ) )  =  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) C ) ) )
15 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  (
( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
16 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  (
( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
17 simplr1 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  (
( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
18 simplr2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  (
( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
19 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (  + cv `  N )  =  (  + cv `  N )
2019addassv 25759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( x (  + cv `  N ) A ) (  + cv `  N ) B )  =  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N
) B ) ) )
2120eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N
) B ) )  =  ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) B ) )
2215, 16, 17, 18, 21syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  (
( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N
) B ) )  =  ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) B ) )
23 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  N  e.  NN )
24 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
25 simplr1 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
26 simplr3 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
2719addassv 25759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( x (  + cv `  N ) A ) (  + cv `  N ) C )  =  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N
) C ) ) )
2823, 24, 25, 26, 27syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
x (  + cv `  N ) A ) (  + cv `  N
) C )  =  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) C ) ) )
29 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) C )  =  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) C ) )  /\  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) C ) )  =  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) B ) ) )  ->  ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) C )  =  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) B ) ) )
30 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) C )  =  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) B ) )  /\  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) B ) )  =  ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) B ) )  ->  ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) C )  =  ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) B ) )
31 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv
`  N )  -> 
( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) B ) )
32 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv
`  N )  -> 
( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) C )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) )
3331, 32eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv
`  N )  -> 
( ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) C )  <->  ( (
0 cv `  N
) (  + cv `  N ) B )  =  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) C ) ) )
3433biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x (  + cv `  N ) A ) (  + cv `  N ) B )  =  ( ( x (  + cv `  N ) A ) (  + cv `  N ) C )  ->  (
( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv `  N
)  ->  ( (
0 cv `  N
) (  + cv `  N ) B )  =  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) C ) ) )
3534eqcoms 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x (  + cv `  N ) A ) (  + cv `  N ) C )  =  ( ( x (  + cv `  N ) A ) (  + cv `  N ) B )  ->  (
( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv `  N
)  ->  ( (
0 cv `  N
) (  + cv `  N ) B )  =  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) C ) ) )
3630, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) C )  =  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) B ) )  /\  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) B ) )  =  ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) B ) )  ->  ( ( x (  + cv `  N
) A )  =  ( 0 cv `  N
)  ->  ( (
0 cv `  N
) (  + cv `  N ) B )  =  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) C ) ) )
3736expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N
) B ) )  =  ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) B )  -> 
( ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) C )  =  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) B ) )  -> 
( ( x (  + cv `  N
) A )  =  ( 0 cv `  N
)  ->  ( (
0 cv `  N
) (  + cv `  N ) B )  =  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) C ) ) ) )
3837com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x (  + cv `  N ) A ) (  + cv `  N ) C )  =  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N
) B ) )  ->  ( ( x (  + cv `  N
) A )  =  ( 0 cv `  N
)  ->  ( (
x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N
) B ) )  =  ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) B )  -> 
( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) ) ) )
3929, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) C )  =  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) C ) )  /\  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) C ) )  =  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) B ) ) )  ->  ( ( x (  + cv `  N
) A )  =  ( 0 cv `  N
)  ->  ( (
x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N
) B ) )  =  ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) B )  -> 
( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) ) ) )
4039expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N
) C ) )  =  ( x (  + cv `  N
) ( A (  + cv `  N
) B ) )  ->  ( ( ( x (  + cv `  N ) A ) (  + cv `  N
) C )  =  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) C ) )  -> 
( ( x (  + cv `  N
) A )  =  ( 0 cv `  N
)  ->  ( (
x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N
) B ) )  =  ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) B )  -> 
( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) ) ) ) )
4140eqcoms 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N
) B ) )  =  ( x (  + cv `  N
) ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( ( x (  + cv `  N ) A ) (  + cv `  N
) C )  =  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) C ) )  -> 
( ( x (  + cv `  N
) A )  =  ( 0 cv `  N
)  ->  ( (
x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N
) B ) )  =  ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) B )  -> 
( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) ) ) ) )
4241com4l 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x (  + cv `  N ) A ) (  + cv `  N ) C )  =  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( x (  + cv `  N
) A )  =  ( 0 cv `  N
)  ->  ( (
x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N
) B ) )  =  ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) B )  -> 
( ( x (  + cv `  N
) ( A (  + cv `  N
) B ) )  =  ( x (  + cv `  N
) ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) ) ) ) )
4328, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv
`  N )  -> 
( ( x (  + cv `  N
) ( A (  + cv `  N
) B ) )  =  ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) B )  -> 
( ( x (  + cv `  N
) ( A (  + cv `  N
) B ) )  =  ( x (  + cv `  N
) ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) ) ) ) )
4443ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  -> 
( ( x (  + cv `  N
) A )  =  ( 0 cv `  N
)  ->  ( (
x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N
) B ) )  =  ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) B )  -> 
( ( x (  + cv `  N
) ( A (  + cv `  N
) B ) )  =  ( x (  + cv `  N
) ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) ) ) ) ) )
4544com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv
`  N )  -> 
( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) B ) )  =  ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) B )  -> 
( ( x (  + cv `  N
) ( A (  + cv `  N
) B ) )  =  ( x (  + cv `  N
) ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) ) ) ) ) )
4645imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) B ) )  =  ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) B )  -> 
( ( x (  + cv `  N
) ( A (  + cv `  N
) B ) )  =  ( x (  + cv `  N
) ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) ) ) ) )
4746impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  (
( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) B ) )  =  ( ( x (  + cv `  N
) A ) (  + cv `  N
) B )  -> 
( ( x (  + cv `  N
) ( A (  + cv `  N
) B ) )  =  ( x (  + cv `  N
) ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) ) ) )
4822, 47mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  (
( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) B ) )  =  ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N ) C ) )  -> 
( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) ) )
4948ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( ( x (  + cv `  N
) A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N
) B ) )  =  ( x (  + cv `  N
) ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) ) ) )
5049com3r 73 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x (  + cv `  N ) ( A (  + cv `  N
) B ) )  =  ( x (  + cv `  N
) ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( ( x (  + cv `  N
) A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
0 cv `  N
) (  + cv `  N ) B )  =  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) C ) ) ) )
5114, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N
) C )  -> 
( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( ( x (  + cv `  N
) A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
0 cv `  N
) (  + cv `  N ) B )  =  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) C ) ) ) )
5251impcom 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  ( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv
`  N )  /\  x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) ) )
5352com12 27 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv `  N
)  /\  x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  ( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) ) )
5453ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv
`  N )  -> 
( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  /\  ( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) ) ) )
5513, 54syl6bi 219 . . . . . . . . 9  |-  ( + w  =  (  + cv `  N )  ->  ( ( x + w A )  =  ( 0 cv
`  N )  -> 
( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  /\  ( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) ) ) ) )
561, 55ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( x + w A
)  =  ( 0 cv `  N )  ->  ( x  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  ->  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  /\  ( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) ) ) )
5756com12 27 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( x + w A )  =  ( 0 cv `  N
)  ->  ( (
( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  ( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) ) ) )
5857rexlimiv 2674 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ( x + w A
)  =  ( 0 cv `  N )  ->  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  /\  ( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) ) )
5911, 58mpcom 32 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  ( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) B )  =  ( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C ) )
60 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  ( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  N  e.  NN )
61 simplr2 998 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  ( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
629, 19addidv2 25760 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) B )  =  B )
6360, 61, 62syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  ( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) B )  =  B )
64 simplr3 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  ( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
659, 19addidv2 25760 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( 0 cv
`  N ) (  + cv `  N
) C )  =  C )
6660, 64, 65syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  ( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  ( ( 0 cv `  N ) (  + cv `  N
) C )  =  C )
6759, 63, 663eqtr3d 2336 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  ( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N
) C ) )  ->  B  =  C )
6867ex 423 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A (  + cv `  N ) B )  =  ( A (  + cv `  N ) C )  ->  B  =  C ) )
694, 68syl5bi 208 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w B )  =  ( A + w C
)  ->  B  =  C ) )
70 oveq2 5882 . 2  |-  ( B  =  C  ->  ( A + w B )  =  ( A + w C ) )
7169, 70impbid1 194 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( A + w B )  =  ( A + w C
)  <->  B  =  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   CCcc 8751   1c1 8754   NNcn 9762   ...cfz 10798    + cvcplcv 25747   0 cvc0cv 25753
This theorem is referenced by:  negveud  25771  negveudr  25772
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-nn 9763  df-addcv 25748  df-nullcv 25754
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