MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclnq Unicode version

Theorem addclnq 8756
Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclnq  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  e.  Q. )

Proof of Theorem addclnq
StepHypRef Expression
1 addpqnq 8749 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  =  ( /Q
`  ( A  +pQ  B ) ) )
2 elpqn 8736 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
3 elpqn 8736 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  B  e.  ( N.  X.  N. ) )
4 addpqf 8755 . . . . 5  |-  +pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
54fovcl 6115 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
62, 3, 5syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +pQ  B
)  e.  ( N. 
X.  N. ) )
7 nqercl 8742 . . 3  |-  ( ( A  +pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  ( A  +pQ  B ) )  e.  Q. )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  e.  Q. )
91, 8eqeltrd 2462 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  e.  Q. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717    X. cxp 4817   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   N.cnpi 8653    +pQ cplpq 8657   Q.cnq 8661   /Qcerq 8663    +Q cplq 8664
This theorem is referenced by:  halfnq  8787  plpv  8821  dmplp  8823  addclprlem2  8828  addclpr  8829  addasspr  8833  distrlem1pr  8836  distrlem4pr  8837  distrlem5pr  8838  ltaddpr  8845  ltexprlem6  8852  ltexprlem7  8853  prlem936  8858
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-ni 8683  df-pli 8684  df-mi 8685  df-lti 8686  df-plpq 8719  df-enq 8722  df-nq 8723  df-erq 8724  df-plq 8725  df-1nq 8727
  Copyright terms: Public domain W3C validator