MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclnq Structured version   Unicode version

Theorem addclnq 8814
Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclnq  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  e.  Q. )

Proof of Theorem addclnq
StepHypRef Expression
1 addpqnq 8807 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  =  ( /Q
`  ( A  +pQ  B ) ) )
2 elpqn 8794 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
3 elpqn 8794 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  B  e.  ( N.  X.  N. ) )
4 addpqf 8813 . . . . 5  |-  +pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
54fovcl 6167 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
62, 3, 5syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +pQ  B
)  e.  ( N. 
X.  N. ) )
7 nqercl 8800 . . 3  |-  ( ( A  +pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  ( A  +pQ  B ) )  e.  Q. )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  e.  Q. )
91, 8eqeltrd 2509 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  e.  Q. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   N.cnpi 8711    +pQ cplpq 8715   Q.cnq 8719   /Qcerq 8721    +Q cplq 8722
This theorem is referenced by:  halfnq  8845  plpv  8879  dmplp  8881  addclprlem2  8886  addclpr  8887  addasspr  8891  distrlem1pr  8894  distrlem4pr  8895  distrlem5pr  8896  ltaddpr  8903  ltexprlem6  8910  ltexprlem7  8911  prlem936  8916
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ni 8741  df-pli 8742  df-mi 8743  df-lti 8744  df-plpq 8777  df-enq 8780  df-nq 8781  df-erq 8782  df-plq 8783  df-1nq 8785
  Copyright terms: Public domain W3C validator