Theorem addclpi 5020

Description: Closure of addition of positive integers.

Assertion

Ref	Expression
addclpi	|- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A +N B) e. N.)

Proof of Theorem addclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpiord 5012	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A +N B) = (A +o B))
2		nnacl 4229	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A +o B) e. om)
3		pinn 5006	. . . . . 6 |- (B e. N. -> B e. om)
4	2, 3	sylan2 451	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. N.) -> (A +o B) e. om)
5		nnaordi 4234	. . . . . . . . 9 |- ((B e. om /\ A e. om) -> ((/) e. B -> (A +o (/)) e. (A +o B)))
6		ne0i 2286	. . . . . . . . 9 |- ((A +o (/)) e. (A +o B) -> (A +o B) =/= (/))
7	5, 6	syl6 22	. . . . . . . 8 |- ((B e. om /\ A e. om) -> ((/) e. B -> (A +o B) =/= (/)))
8	7	expcom 374	. . . . . . 7 |- (A e. om -> (B e. om -> ((/) e. B -> (A +o B) =/= (/))))
9	8	imp32 363	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ (B e. om /\ (/) e. B)) -> (A +o B) =/= (/))
10		elni2 5005	. . . . . 6 |- (B e. N. <-> (B e. om /\ (/) e. B))
11	9, 10	sylan2b 452	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. N.) -> (A +o B) =/= (/))
12	4, 11	jca 288	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. N.) -> ((A +o B) e. om /\ (A +o B) =/= (/)))
13		elni 5004	. . . 4 |- ((A +o B) e. N. <-> ((A +o B) e. om /\ (A +o B) =/= (/)))
14	12, 13	sylibr 200	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. N.) -> (A +o B) e. N.)
15		pinn 5006	. . 3 |- (A e. N. -> A e. om)
16	14, 15	sylan 448	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A +o B) e. N.)
17	1, 16	eqeltrd 1548	1 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A +N B) e. N.)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958   =/= wne 1585  (/)c0 2280  omcom 3131  (class class class)co 3963   +o coa 4130  N.cnpi 4972   +N cpli 4973

This theorem is referenced by:  addasspi 5023  distrpi 5026  ltapi 5030  1lt2pi 5032  indpi 5034  addcmpblnq 5052  addclpq 5058  addasspq 5063  distrpq 5067  ltexpq 5080  halfpq 5082

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-oadd 4135  df-ni 5000  df-pli 5001

Copyright terms: Public domain