Theorem addclpq 5030

Description: Closure of addition on positive fractions.

Assertion

Ref	Expression
addclpq	|- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A +Q B) e. Q.)

Proof of Theorem addclpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 5010	. . 3 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
2		opreq1 3953	. . . 4 |- ([<.x, y>.] ~Q = A -> ([<.x, y>.] ~Q +Q [<.z, w>.] ~Q ) = (A +Q [<.z, w>.] ~Q ))
3	2	eleq1d 1532	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~Q = A -> (([<.x, y>.] ~Q +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. ((N. X. N.)/. ~Q ) <-> (A +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. ((N. X. N.)/. ~Q )))
4		opreq2 3954	. . . 4 |- ([<.z, w>.] ~Q = B -> (A +Q [<.z, w>.] ~Q ) = (A +Q B))
5	4	eleq1d 1532	. . 3 |- ([<.z, w>.] ~Q = B -> ((A +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. ((N. X. N.)/. ~Q ) <-> (A +Q B) e. ((N. X. N.)/. ~Q )))
6		addpipq 5026	. . . 4 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q +Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>.] ~Q )
7		addclpi 4992	. . . . . . . 8 |- (((x .N w) e. N. /\ (y .N z) e. N.) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
8		mulclpi 4993	. . . . . . . 8 |- ((x e. N. /\ w e. N.) -> (x .N w) e. N.)
9		mulclpi 4993	. . . . . . . 8 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> (y .N z) e. N.)
10	7, 8, 9	syl2an 454	. . . . . . 7 |- (((x e. N. /\ w e. N.) /\ (y e. N. /\ z e. N.)) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
11	10	an42s 508	. . . . . 6 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
12		mulclpi 4993	. . . . . . 7 |- ((y e. N. /\ w e. N.) -> (y .N w) e. N.)
13	12	ad2ant2l 408	. . . . . 6 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> (y .N w) e. N.)
14	11, 13	jca 288	. . . . 5 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> (((x .N w) +N (y .N z)) e. N. /\ (y .N w) e. N.))
15		opelxpi 3207	. . . . 5 |- ((((x .N w) +N (y .N z)) e. N. /\ (y .N w) e. N.) -> <.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>. e. (N. X. N.))
16		enqex 5020	. . . . . 6 |- ~Q e. V
17	16	ecelqsi 4276	. . . . 5 |- (<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>. e. (N. X. N.) -> [<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>.] ~Q e. ((N. X. N.)/. ~Q ))
18	14, 15, 17	3syl 20	. . . 4 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> [<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>.] ~Q e. ((N. X. N.)/. ~Q ))
19	6, 18	eqeltrd 1540	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. ((N. X. N.)/. ~Q ))
20	1, 3, 5, 19	2ecoptocl 4288	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A +Q B) e. ((N. X. N.)/. ~Q ))
21	20, 1	syl6eleqr 1551	1 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A +Q B) e. Q.)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  <.cop 2401   X. cxp 3158  (class class class)co 3948  [cec 4243  /.cqs 4244  N.cnpi 4944   +N cpli 4945   .N cmi 4946   ~Q ceq 4950  Q.cnq 4951   +Q cplq 4953

This theorem is referenced by:  dmaddpq 5031  ltbtwnpq 5056  addclprlem2 5091  addclpr 5092  prlem936 5127

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-plpq 5007  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011

Copyright terms: Public domain