MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclpr Unicode version

Theorem addclpr 8522
Description: Closure of addition on positive reals. First statement of Proposition 9-3.5 of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclpr  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  +P.  B
)  e.  P. )

Proof of Theorem addclpr
StepHypRef Expression
1 df-plp 8487 . 2  |-  +P.  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y  +Q  z ) } )
2 addclnq 8449 . 2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  +Q  z
)  e.  Q. )
3 ltanq 8475 . 2  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
4 addcomnq 8455 . 2  |-  ( x  +Q  y )  =  ( y  +Q  x
)
5 addclprlem2 8521 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  /\  x  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  (
g  +Q  h )  ->  x  e.  ( A  +P.  B ) ) )
61, 2, 3, 4, 5genpcl 8512 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  +P.  B
)  e.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621  (class class class)co 5710    +Q cplq 8357   P.cnp 8361    +P. cpp 8363
This theorem is referenced by:  addasspr  8526  distrlem1pr  8529  distrlem4pr  8530  ltaddpr  8538  ltexprlem7  8546  ltaprlem  8548  ltapr  8549  addcanpr  8550  enrer  8570  addcmpblnr  8574  mulcmpblnr  8576  ltsrpr  8579  1sr  8583  m1r  8584  addclsr  8585  mulclsr  8586  addasssr  8590  mulasssr  8592  distrsr  8593  m1p1sr  8594  m1m1sr  8595  ltsosr  8596  0lt1sr  8597  0idsr  8599  1idsr  8600  00sr  8601  ltasr  8602  recexsrlem  8605  mulgt0sr  8607  mappsrpr  8610
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ni 8376  df-pli 8377  df-mi 8378  df-lti 8379  df-plpq 8412  df-mpq 8413  df-ltpq 8414  df-enq 8415  df-nq 8416  df-erq 8417  df-plq 8418  df-mq 8419  df-1nq 8420  df-rq 8421  df-ltnq 8422  df-np 8485  df-plp 8487
  Copyright terms: Public domain W3C validator