MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclpr Unicode version

Theorem addclpr 8642
Description: Closure of addition on positive reals. First statement of Proposition 9-3.5 of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclpr  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  +P.  B
)  e.  P. )

Proof of Theorem addclpr
Dummy variables  x  y  z  w  v 
f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-plp 8607 . 2  |-  +P.  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y  +Q  z ) } )
2 addclnq 8569 . 2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  +Q  z
)  e.  Q. )
3 ltanq 8595 . 2  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
4 addcomnq 8575 . 2  |-  ( x  +Q  y )  =  ( y  +Q  x
)
5 addclprlem2 8641 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  /\  x  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  (
g  +Q  h )  ->  x  e.  ( A  +P.  B ) ) )
61, 2, 3, 4, 5genpcl 8632 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  +P.  B
)  e.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684  (class class class)co 5858    +Q cplq 8477   P.cnp 8481    +P. cpp 8483
This theorem is referenced by:  addasspr  8646  distrlem1pr  8649  distrlem4pr  8650  ltaddpr  8658  ltexprlem7  8666  ltaprlem  8668  ltapr  8669  addcanpr  8670  enrer  8690  addcmpblnr  8694  mulcmpblnr  8696  ltsrpr  8699  1sr  8703  m1r  8704  addclsr  8705  mulclsr  8706  addasssr  8710  mulasssr  8712  distrsr  8713  m1p1sr  8714  m1m1sr  8715  ltsosr  8716  0lt1sr  8717  0idsr  8719  1idsr  8720  00sr  8721  ltasr  8722  recexsrlem  8725  mulgt0sr  8727  mappsrpr  8730
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ni 8496  df-pli 8497  df-mi 8498  df-lti 8499  df-plpq 8532  df-mpq 8533  df-ltpq 8534  df-enq 8535  df-nq 8536  df-erq 8537  df-plq 8538  df-mq 8539  df-1nq 8540  df-rq 8541  df-ltnq 8542  df-np 8605  df-plp 8607
  Copyright terms: Public domain W3C validator