MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclsr Unicode version

Theorem addclsr 8673
Description: Closure of addition on signed reals. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclsr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  e.  R. )

Proof of Theorem addclsr
StepHypRef Expression
1 df-nr 8650 . . 3  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
2 oveq1 5799 . . . 4  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  A  -> 
( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  ( A  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  ) )
32eleq1d 2324 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  A  -> 
( ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  <->  ( A  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) ) )
4 oveq2 5800 . . . 4  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~R  =  B  -> 
( A  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  ( A  +R  B ) )
54eleq1d 2324 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~R  =  B  -> 
( ( A  +R  [
<. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  <->  ( A  +R  B )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) ) )
6 addsrpr 8665 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  [ <. (
x  +P.  z ) ,  ( y  +P.  w ) >. ]  ~R  )
7 addclpr 8610 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( x  +P.  z
)  e.  P. )
8 addclpr 8610 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( y  +P.  w
)  e.  P. )
97, 8anim12i 551 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  /\  ( y  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  +P.  z )  e.  P.  /\  ( y  +P.  w )  e. 
P. ) )
109an4s 802 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  +P.  z )  e.  P.  /\  ( y  +P.  w )  e. 
P. ) )
11 opelxpi 4709 . . . . 5  |-  ( ( ( x  +P.  z
)  e.  P.  /\  ( y  +P.  w
)  e.  P. )  -> 
<. ( x  +P.  z
) ,  ( y  +P.  w ) >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
12 enrex 8660 . . . . . 6  |-  ~R  e.  _V
1312ecelqsi 6683 . . . . 5  |-  ( <.
( x  +P.  z
) ,  ( y  +P.  w ) >.  e.  ( P.  X.  P. )  ->  [ <. (
x  +P.  z ) ,  ( y  +P.  w ) >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
1410, 11, 133syl 20 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  [ <. (
x  +P.  z ) ,  ( y  +P.  w ) >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
156, 14eqeltrd 2332 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
161, 3, 5, 152ecoptocl 6717 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
1716, 1syl6eleqr 2349 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  e.  R. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   <.cop 3617    X. cxp 4659  (class class class)co 5792   [cec 6626   /.cqs 6627   P.cnp 8449    +P. cpp 8451    ~R cer 8456   R.cnr 8457    +R cplr 8461
This theorem is referenced by:  dmaddsr  8675  map2psrpr  8700  axaddf  8735  axmulf  8736  axaddrcl  8742  axaddass  8746  axmulass  8747  axdistr  8748
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-ec 6630  df-qs 6634  df-ni 8464  df-pli 8465  df-mi 8466  df-lti 8467  df-plpq 8500  df-mpq 8501  df-ltpq 8502  df-enq 8503  df-nq 8504  df-erq 8505  df-plq 8506  df-mq 8507  df-1nq 8508  df-rq 8509  df-ltnq 8510  df-np 8573  df-plp 8575  df-ltp 8577  df-plpr 8647  df-enr 8649  df-nr 8650  df-plr 8651
  Copyright terms: Public domain W3C validator