MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclsr Unicode version

Theorem addclsr 8585
Description: Closure of addition on signed reals. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclsr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  e.  R. )

Proof of Theorem addclsr
StepHypRef Expression
1 df-nr 8562 . . 3  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
2 oveq1 5717 . . . 4  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  A  -> 
( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  ( A  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  ) )
32eleq1d 2319 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  A  -> 
( ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  <->  ( A  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) ) )
4 oveq2 5718 . . . 4  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~R  =  B  -> 
( A  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  ( A  +R  B ) )
54eleq1d 2319 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~R  =  B  -> 
( ( A  +R  [
<. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  <->  ( A  +R  B )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) ) )
6 addsrpr 8577 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  [ <. (
x  +P.  z ) ,  ( y  +P.  w ) >. ]  ~R  )
7 addclpr 8522 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( x  +P.  z
)  e.  P. )
8 addclpr 8522 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( y  +P.  w
)  e.  P. )
97, 8anim12i 551 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  /\  ( y  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  +P.  z )  e.  P.  /\  ( y  +P.  w )  e. 
P. ) )
109an4s 802 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  +P.  z )  e.  P.  /\  ( y  +P.  w )  e. 
P. ) )
11 opelxpi 4628 . . . . 5  |-  ( ( ( x  +P.  z
)  e.  P.  /\  ( y  +P.  w
)  e.  P. )  -> 
<. ( x  +P.  z
) ,  ( y  +P.  w ) >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
12 enrex 8572 . . . . . 6  |-  ~R  e.  _V
1312ecelqsi 6601 . . . . 5  |-  ( <.
( x  +P.  z
) ,  ( y  +P.  w ) >.  e.  ( P.  X.  P. )  ->  [ <. (
x  +P.  z ) ,  ( y  +P.  w ) >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
1410, 11, 133syl 20 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  [ <. (
x  +P.  z ) ,  ( y  +P.  w ) >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
156, 14eqeltrd 2327 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
161, 3, 5, 152ecoptocl 6635 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
1716, 1syl6eleqr 2344 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  e.  R. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   <.cop 3547    X. cxp 4578  (class class class)co 5710   [cec 6544   /.cqs 6545   P.cnp 8361    +P. cpp 8363    ~R cer 8368   R.cnr 8369    +R cplr 8373
This theorem is referenced by:  dmaddsr  8587  map2psrpr  8612  axaddf  8647  axmulf  8648  axaddrcl  8654  axaddass  8658  axmulass  8659  axdistr  8660
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-ni 8376  df-pli 8377  df-mi 8378  df-lti 8379  df-plpq 8412  df-mpq 8413  df-ltpq 8414  df-enq 8415  df-nq 8416  df-erq 8417  df-plq 8418  df-mq 8419  df-1nq 8420  df-rq 8421  df-ltnq 8422  df-np 8485  df-plp 8487  df-ltp 8489  df-plpr 8559  df-enr 8561  df-nr 8562  df-plr 8563
  Copyright terms: Public domain W3C validator