Theorem addcn 7983

Description: Complex number addition is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243.

Hypotheses

Ref	Expression
addcn.1	|- C = (abs o. - )
addcn.2	|- D = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. (CC X. CC) /\ v e. (CC X. CC)) /\ u = sup({((1st` w)C(1st` v)), ((2nd` w)C(2nd` v))}, RR, < ))}
addcn.j	|- J = (Open` C)
addcn.k	|- K = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
addcn	|- + e. (K Cn J)

Distinct variable group:   v,u,w,C

Proof of Theorem addcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcn.1	. 2 |- C = (abs o. - )
2		addcn.2	. 2 |- D = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. (CC X. CC) /\ v e. (CC X. CC)) /\ u = sup({((1st` w)C(1st` v)), ((2nd` w)C(2nd` v))}, RR, < ))}
3		addcn.j	. 2 |- J = (Open` C)
4		addcn.k	. 2 |- K = (Open` D)
5		axaddopr 5277	. 2 |- + :(CC X. CC)-->CC
6		eqid 1478	. 2 |- {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (1st` (h` k)))} = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (1st` (h` k)))}
7		eqid 1478	. 2 |- {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (2nd` (h` k)))} = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (2nd` (h` k)))}
8		axaddcl 5283	. 2 |- (((1st` (h` k)) e. CC /\ (2nd` (h` k)) e. CC) -> ((1st` (h` k)) + (2nd` (h` k))) e. CC)
9		nnex 5935	. . . 4 |- NN e. V
10	9	opabex2 3616	. . 3 |- {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (1st` (h` k)))} e. V
11	9	opabex2 3616	. . 3 |- {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (2nd` (h` k)))} e. V
12	9	opabex2 3616	. . 3 |- {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = ( + ` (h` k)))} e. V
13		fvex 3738	. . 3 |- (1st` q) e. V
14		fvex 3738	. . 3 |- (2nd` q) e. V
15	10, 11, 12, 13, 14	climadd 7117	. 2 |- ((({<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (1st` (h` k)))} ~~> (1st` q) /\ {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (2nd` (h` k)))} ~~> (2nd` q)) /\ (1 e. ZZ /\ A.m e. (ZZ>` 1)(({<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (1st` (h` k)))}` m) e. CC /\ ({<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (2nd` (h` k)))}` m) e. CC /\ ({<.k, r>. | (k e. NN /\ r = ( + ` (h` k)))}` m) = (({<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (1st` (h` k)))}` m) + ({<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (2nd` (h` k)))}` m))))) -> {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = ( + ` (h` k)))} ~~> ((1st` q) + (2nd` q)))
16		eqid 1478	. 2 |- {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = ( + ` (h` k)))} = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = ( + ` (h` k)))}
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 16	bopcn 7982	1 |- + e. (K Cn J)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {cpr 2414  {copab 2671   X. cxp 3174   o. ccom 3180  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  {copab2 3970  1stc1st 4083  2ndc2nd 4084  supcsup 4582  CCcc 5244  RRcr 5245  1c1 5247   + caddc 5249   - cmin 5304  NNcn 5308   < clt 5498  abscabs 6751   Cn ccn 7749  Opencopn 7789

This theorem is referenced by:  fsumcnlem 7986  coscn 8665

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-seq1 6309  df-uz 6419  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-top 7594  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919

Copyright terms: Public domain