MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcnlem Unicode version

Theorem addcnlem 18758
Description: Lemma for addcn 18759, subcn 18760, and mulcn 18761. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
addcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
addcn.2  |-  .+  :
( CC  X.  CC )
--> CC
addcn.3  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a ) )
Assertion
Ref Expression
addcnlem  |-  .+  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
Distinct variable groups:    a, b,
c, u, v, y, z, J    .+ , a, b, c, u, v, y, z

Proof of Theorem addcnlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcn.2 . 2  |-  .+  :
( CC  X.  CC )
--> CC
2 addcn.3 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a ) )
323coml 1160 . . . 4  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a ) )
4 ifcl 3711 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  e.  RR+ )
54adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  if (
y  <_  z , 
y ,  z )  e.  RR+ )
6 simpll1 996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  b  e.  CC )
7 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  u  e.  CC )
8 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
98cnmetdval 18669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( b ( abs 
o.  -  ) u
)  =  ( abs `  ( b  -  u
) ) )
10 abssub 12050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( abs `  (
b  -  u ) )  =  ( abs `  ( u  -  b
) ) )
119, 10eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( b ( abs 
o.  -  ) u
)  =  ( abs `  ( u  -  b
) ) )
126, 7, 11syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( b
( abs  o.  -  )
u )  =  ( abs `  ( u  -  b ) ) )
1312breq1d 4156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  <->  ( abs `  ( u  -  b
) )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) )
147, 6subcld 9336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( u  -  b )  e.  CC )
1514abscld 12158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( u  -  b
) )  e.  RR )
16 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  y  e.  RR+ )
1716rpred 10573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  y  e.  RR )
18 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  z  e.  RR+ )
1918rpred 10573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  z  e.  RR )
20 ltmin 10706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  (
u  -  b ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
u  -  b ) )  <  if ( y  <_  z , 
y ,  z )  <-> 
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( u  -  b ) )  <  z ) ) )
2115, 17, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  b ) )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z )  <->  ( ( abs `  ( u  -  b ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( u  -  b
) )  <  z
) ) )
2213, 21bitrd 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  <->  ( ( abs `  ( u  -  b ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( u  -  b
) )  <  z
) ) )
23 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( u  -  b ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
u  -  b ) )  <  y )
2422, 23syl6bi 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( abs `  (
u  -  b ) )  <  y ) )
25 simpll2 997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  c  e.  CC )
26 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  v  e.  CC )
278cnmetdval 18669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  =  ( abs `  ( c  -  v
) ) )
28 abssub 12050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( abs `  (
c  -  v ) )  =  ( abs `  ( v  -  c
) ) )
2927, 28eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  =  ( abs `  ( v  -  c
) ) )
3025, 26, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( c
( abs  o.  -  )
v )  =  ( abs `  ( v  -  c ) ) )
3130breq1d 4156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  <->  ( abs `  ( v  -  c
) )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) )
3226, 25subcld 9336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( v  -  c )  e.  CC )
3332abscld 12158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( v  -  c
) )  e.  RR )
34 ltmin 10706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  (
v  -  c ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
v  -  c ) )  <  if ( y  <_  z , 
y ,  z )  <-> 
( ( abs `  (
v  -  c ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z ) ) )
3533, 17, 19, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z )  <->  ( ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( v  -  c
) )  <  z
) ) )
3631, 35bitrd 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  <->  ( ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( v  -  c
) )  <  z
) ) )
37 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  (
v  -  c ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
v  -  c ) )  <  z )
3836, 37syl6bi 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( abs `  (
v  -  c ) )  <  z ) )
3924, 38anim12d 547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( b ( abs 
o.  -  ) u
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z )  /\  ( c ( abs  o.  -  )
v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) )  ->  (
( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z ) ) )
401fovcl 6107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  ( b  .+  c
)  e.  CC )
416, 25, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( b  .+  c )  e.  CC )
421fovcl 6107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( u  .+  v
)  e.  CC )
4342adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( u  .+  v )  e.  CC )
448cnmetdval 18669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  CC  /\  ( u  .+  v )  e.  CC )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  =  ( abs `  ( ( b  .+  c )  -  (
u  .+  v )
) ) )
45 abssub 12050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  CC  /\  ( u  .+  v )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( b  .+  c
)  -  ( u 
.+  v ) ) )  =  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  (
b  .+  c )
) ) )
4644, 45eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  CC  /\  ( u  .+  v )  e.  CC )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  =  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  (
b  .+  c )
) ) )
4741, 43, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  =  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  ( b  .+  c ) ) ) )
4847breq1d 4156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( b  .+  c
) ( abs  o.  -  ) ( u 
.+  v ) )  <  a  <->  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  (
b  .+  c )
) )  <  a
) )
4948biimprd 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) )
5039, 49imim12d 70 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a )  ->  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) ) )
5150anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  CC )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( ( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a )  ->  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) ) )
5251ralimdva 2720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  CC )  ->  ( A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a )  ->  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) ) )
5352ralimdva 2720 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a )  ->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) ) )
54 breq2 4150 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  <->  ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) )
55 breq2 4150 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( ( c ( abs  o.  -  )
v )  <  x  <->  ( c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) )
5654, 55anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  < 
x  /\  ( c
( abs  o.  -  )
v )  <  x
)  <->  ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z )  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) ) )
5756imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )  <->  ( ( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs  o.  -  ) v )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z ) )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
58572ralbidv 2684 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )  <->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs  o.  -  ) v )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z ) )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
5958rspcev 2988 . . . . . 6  |-  ( ( if ( y  <_ 
z ,  y ,  z )  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs  o.  -  ) v )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z ) )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
)  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
)
605, 53, 59ee12an 1369 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a )  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
6160rexlimdvva 2773 . . . 4  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a )  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
623, 61mpd 15 . . 3  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
)
6362rgen3 2739 . 2  |-  A. b  e.  CC  A. c  e.  CC  A. a  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  x )  ->  ( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
64 cnxmet 18671 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
65 addcn.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
6665cnfldtopn 18680 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
6766, 66, 66txmetcn 18461 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )  ->  (  .+  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)  <->  (  .+  :
( CC  X.  CC )
--> CC  /\  A. b  e.  CC  A. c  e.  CC  A. a  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  x )  ->  ( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) ) )
6864, 64, 64, 67mp3an 1279 . 2  |-  (  .+  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)  <->  (  .+  :
( CC  X.  CC )
--> CC  /\  A. b  e.  CC  A. c  e.  CC  A. a  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  x )  ->  ( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
691, 63, 68mpbir2an 887 1  |-  .+  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643   ifcif 3675   class class class wbr 4146    X. cxp 4809    o. ccom 4815   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   RRcr 8915    < clt 9046    <_ cle 9047    - cmin 9216   RR+crp 10537   abscabs 11959   TopOpenctopn 13569   * Metcxmt 16605  ℂfldccnfld 16619    Cn ccn 17203    tX ctx 17506
This theorem is referenced by:  addcn  18759  subcn  18760  mulcn  18761
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-hom 13473  df-cco 13474  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-pt 13588  df-prds 13591  df-xrs 13646  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-qtop 13653  df-imas 13654  df-xps 13656  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-mulg 14735  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-cnfld 16620  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cn 17206  df-cnp 17207  df-tx 17508  df-hmeo 17701  df-xms 18252  df-tms 18254
  Copyright terms: Public domain W3C validator