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Theorem addcnlem 18882
Description: Lemma for addcn 18883, subcn 18884, and mulcn 18885. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
addcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
addcn.2  |-  .+  :
( CC  X.  CC )
--> CC
addcn.3  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a ) )
Assertion
Ref Expression
addcnlem  |-  .+  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
Distinct variable groups:    a, b,
c, u, v, y, z, J    .+ , a, b, c, u, v, y, z

Proof of Theorem addcnlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcn.2 . 2  |-  .+  :
( CC  X.  CC )
--> CC
2 addcn.3 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a ) )
323coml 1160 . . . 4  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a ) )
4 ifcl 3767 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  e.  RR+ )
54adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  if (
y  <_  z , 
y ,  z )  e.  RR+ )
6 simpll1 996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  b  e.  CC )
7 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  u  e.  CC )
8 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
98cnmetdval 18793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( b ( abs 
o.  -  ) u
)  =  ( abs `  ( b  -  u
) ) )
10 abssub 12118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( abs `  (
b  -  u ) )  =  ( abs `  ( u  -  b
) ) )
119, 10eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( b ( abs 
o.  -  ) u
)  =  ( abs `  ( u  -  b
) ) )
126, 7, 11syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( b
( abs  o.  -  )
u )  =  ( abs `  ( u  -  b ) ) )
1312breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  <->  ( abs `  ( u  -  b
) )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) )
147, 6subcld 9400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( u  -  b )  e.  CC )
1514abscld 12226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( u  -  b
) )  e.  RR )
16 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  y  e.  RR+ )
1716rpred 10637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  y  e.  RR )
18 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  z  e.  RR+ )
1918rpred 10637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  z  e.  RR )
20 ltmin 10770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  (
u  -  b ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
u  -  b ) )  <  if ( y  <_  z , 
y ,  z )  <-> 
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( u  -  b ) )  <  z ) ) )
2115, 17, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  b ) )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z )  <->  ( ( abs `  ( u  -  b ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( u  -  b
) )  <  z
) ) )
2213, 21bitrd 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  <->  ( ( abs `  ( u  -  b ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( u  -  b
) )  <  z
) ) )
23 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( u  -  b ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
u  -  b ) )  <  y )
2422, 23syl6bi 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( abs `  (
u  -  b ) )  <  y ) )
25 simpll2 997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  c  e.  CC )
26 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  v  e.  CC )
278cnmetdval 18793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  =  ( abs `  ( c  -  v
) ) )
28 abssub 12118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( abs `  (
c  -  v ) )  =  ( abs `  ( v  -  c
) ) )
2927, 28eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  =  ( abs `  ( v  -  c
) ) )
3025, 26, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( c
( abs  o.  -  )
v )  =  ( abs `  ( v  -  c ) ) )
3130breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  <->  ( abs `  ( v  -  c
) )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) )
3226, 25subcld 9400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( v  -  c )  e.  CC )
3332abscld 12226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( v  -  c
) )  e.  RR )
34 ltmin 10770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  (
v  -  c ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
v  -  c ) )  <  if ( y  <_  z , 
y ,  z )  <-> 
( ( abs `  (
v  -  c ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z ) ) )
3533, 17, 19, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z )  <->  ( ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( v  -  c
) )  <  z
) ) )
3631, 35bitrd 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  <->  ( ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( v  -  c
) )  <  z
) ) )
37 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  (
v  -  c ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
v  -  c ) )  <  z )
3836, 37syl6bi 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( abs `  (
v  -  c ) )  <  z ) )
3924, 38anim12d 547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( b ( abs 
o.  -  ) u
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z )  /\  ( c ( abs  o.  -  )
v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) )  ->  (
( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z ) ) )
401fovcl 6166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  ( b  .+  c
)  e.  CC )
416, 25, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( b  .+  c )  e.  CC )
421fovcl 6166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( u  .+  v
)  e.  CC )
4342adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( u  .+  v )  e.  CC )
448cnmetdval 18793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  CC  /\  ( u  .+  v )  e.  CC )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  =  ( abs `  ( ( b  .+  c )  -  (
u  .+  v )
) ) )
45 abssub 12118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  CC  /\  ( u  .+  v )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( b  .+  c
)  -  ( u 
.+  v ) ) )  =  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  (
b  .+  c )
) ) )
4644, 45eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  CC  /\  ( u  .+  v )  e.  CC )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  =  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  (
b  .+  c )
) ) )
4741, 43, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  =  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  ( b  .+  c ) ) ) )
4847breq1d 4214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( b  .+  c
) ( abs  o.  -  ) ( u 
.+  v ) )  <  a  <->  ( abs `  ( ( u  .+  v )  -  (
b  .+  c )
) )  <  a
) )
4948biimprd 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) )
5039, 49imim12d 70 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a )  ->  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) ) )
5150anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  CC )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( ( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  .+  v
)  -  ( b 
.+  c ) ) )  <  a )  ->  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) ) )
5251ralimdva 2776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  CC )  ->  ( A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a )  ->  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) ) )
5352ralimdva 2776 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a )  ->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  if (
y  <_  z , 
y ,  z ) )  ->  ( (
b  .+  c )
( abs  o.  -  )
( u  .+  v
) )  <  a
) ) )
54 breq2 4208 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  <->  ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) )
55 breq2 4208 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( ( c ( abs  o.  -  )
v )  <  x  <->  ( c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) )
5654, 55anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  < 
x  /\  ( c
( abs  o.  -  )
v )  <  x
)  <->  ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z )  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z ) ) ) )
5756imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )  <->  ( ( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs  o.  -  ) v )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z ) )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
58572ralbidv 2739 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  -> 
( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )  <->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs  o.  -  ) v )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z ) )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
5958rspcev 3044 . . . . . 6  |-  ( ( if ( y  <_ 
z ,  y ,  z )  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  if ( y  <_  z ,  y ,  z )  /\  ( c ( abs  o.  -  ) v )  < 
if ( y  <_ 
z ,  y ,  z ) )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
)  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
)
605, 53, 59ee12an 1372 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a )  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
6160rexlimdvva 2829 . . . 4  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u 
.+  v )  -  ( b  .+  c
) ) )  < 
a )  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
623, 61mpd 15 . . 3  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC  /\  a  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( b ( abs  o.  -  ) u )  <  x  /\  (
c ( abs  o.  -  ) v )  <  x )  -> 
( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
)
6362rgen3 2795 . 2  |-  A. b  e.  CC  A. c  e.  CC  A. a  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  x )  ->  ( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
64 cnxmet 18795 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
65 addcn.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
6665cnfldtopn 18804 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
6766, 66, 66txmetcn 18566 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )  ->  (  .+  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)  <->  (  .+  :
( CC  X.  CC )
--> CC  /\  A. b  e.  CC  A. c  e.  CC  A. a  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  x )  ->  ( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) ) )
6864, 64, 64, 67mp3an 1279 . 2  |-  (  .+  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)  <->  (  .+  :
( CC  X.  CC )
--> CC  /\  A. b  e.  CC  A. c  e.  CC  A. a  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( b ( abs  o.  -  )
u )  <  x  /\  ( c ( abs 
o.  -  ) v
)  <  x )  ->  ( ( b  .+  c ) ( abs 
o.  -  ) (
u  .+  v )
)  <  a )
) )
691, 63, 68mpbir2an 887 1  |-  .+  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   ifcif 3731   class class class wbr 4204    X. cxp 4867    o. ccom 4873   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   RRcr 8978    < clt 9109    <_ cle 9110    - cmin 9280   RR+crp 10601   abscabs 12027   TopOpenctopn 13637   * Metcxmt 16674  ℂfldccnfld 16691    Cn ccn 17276    tX ctx 17580
This theorem is referenced by:  addcn  18883  subcn  18884  mulcn  18885
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-xms 18338  df-tms 18340
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