Theorem addcnsrec 5235

Description: Technical trick to permit re-use of some equivalence class lemmas for operation laws. See dfcnqs 5234 and mulcnsrec 5236.

Assertion

Ref	Expression
addcnsrec	|- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (C e. R. /\ D e. R.)) -> ([<.A, B>.]`'E + [<.C, D>.]`'E) = [<.(A +R C), (B +R D)>.]`'E)

Proof of Theorem addcnsrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcnsr 5225	. 2 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (C e. R. /\ D e. R.)) -> (<.A, B>. + <.C, D>.) = <.(A +R C), (B +R D)>.)
2		opex 2772	. . . 4 |- <.A, B>. e. V
3	2	ecid 4284	. . 3 |- [<.A, B>.]`'E = <.A, B>.
4		opex 2772	. . . 4 |- <.C, D>. e. V
5	4	ecid 4284	. . 3 |- [<.C, D>.]`'E = <.C, D>.
6	3, 5	opreq12i 3958	. 2 |- ([<.A, B>.]`'E + [<.C, D>.]`'E) = (<.A, B>. + <.C, D>.)
7		opex 2772	. . 3 |- <.(A +R C), (B +R D)>. e. V
8	7	ecid 4284	. 2 |- [<.(A +R C), (B +R D)>.]`'E = <.(A +R C), (B +R D)>.
9	1, 6, 8	3eqtr4g 1523	1 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (C e. R. /\ D e. R.)) -> ([<.A, B>.]`'E + [<.C, D>.]`'E) = [<.(A +R C), (B +R D)>.]`'E)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  <.cop 2401  Ecep 2819  `'ccnv 3159  (class class class)co 3948  [cec 4243  R.cnr 4965   +R cplr 4969   + caddc 5209

This theorem is referenced by:  axaddcom 5247  axaddass 5249  axdistr 5251

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-eprel 2821  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-ec 4247  df-c 5212  df-plus 5217

Copyright terms: Public domain