MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomd Unicode version

Theorem addcomd 9030
Description: Addition commutes. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
addcomd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
addcomd  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )

Proof of Theorem addcomd
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 8811 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
21a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
32, 2addcld 8870 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  e.  CC )
4 muld.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 addcomd.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
63, 4, 5adddid 8875 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( 1  +  1 )  x.  A )  +  ( ( 1  +  1 )  x.  B ) ) )
74, 5addcld 8870 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
8 1p1times 8999 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  (
( 1  +  1 )  x.  ( A  +  B ) )  =  ( ( A  +  B )  +  ( A  +  B
) ) )
97, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( A  +  B )  +  ( A  +  B ) ) )
10 1p1times 8999 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  1 )  x.  A )  =  ( A  +  A ) )
114, 10syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 )  x.  A
)  =  ( A  +  A ) )
12 1p1times 8999 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( 1  +  1 )  x.  B )  =  ( B  +  B ) )
135, 12syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 )  x.  B
)  =  ( B  +  B ) )
1411, 13oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  1 )  x.  A )  +  ( ( 1  +  1 )  x.  B ) )  =  ( ( A  +  A )  +  ( B  +  B ) ) )
156, 9, 143eqtr3rd 2337 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  A )  +  ( B  +  B ) )  =  ( ( A  +  B )  +  ( A  +  B ) ) )
164, 4addcld 8870 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  +  A
)  e.  CC )
1716, 5, 5addassd 8873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  A )  +  B )  +  B
)  =  ( ( A  +  A )  +  ( B  +  B ) ) )
187, 4, 5addassd 8873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  B )  +  A )  +  B
)  =  ( ( A  +  B )  +  ( A  +  B ) ) )
1915, 17, 183eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  A )  +  B )  +  B
)  =  ( ( ( A  +  B
)  +  A )  +  B ) )
2016, 5addcld 8870 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  A )  +  B
)  e.  CC )
217, 4addcld 8870 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  +  A
)  e.  CC )
22 addcan2 9013 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  A )  +  B
)  e.  CC  /\  ( ( A  +  B )  +  A
)  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  +  A )  +  B )  +  B )  =  ( ( ( A  +  B )  +  A
)  +  B )  <-> 
( ( A  +  A )  +  B
)  =  ( ( A  +  B )  +  A ) ) )
2320, 21, 5, 22syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  +  A )  +  B )  +  B )  =  ( ( ( A  +  B )  +  A
)  +  B )  <-> 
( ( A  +  A )  +  B
)  =  ( ( A  +  B )  +  A ) ) )
2419, 23mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  A )  +  B
)  =  ( ( A  +  B )  +  A ) )
254, 4, 5addassd 8873 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  A )  +  B
)  =  ( A  +  ( A  +  B ) ) )
264, 5, 4addassd 8873 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  +  A
)  =  ( A  +  ( B  +  A ) ) )
2724, 25, 263eqtr3d 2336 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( A  +  B ) )  =  ( A  +  ( B  +  A ) ) )
285, 4addcld 8870 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  +  A
)  e.  CC )
29 addcan 9012 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( A  +  B
)  e.  CC  /\  ( B  +  A
)  e.  CC )  ->  ( ( A  +  ( A  +  B ) )  =  ( A  +  ( B  +  A ) )  <->  ( A  +  B )  =  ( B  +  A ) ) )
304, 7, 28, 29syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( A  +  B
) )  =  ( A  +  ( B  +  A ) )  <-> 
( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) ) )
3127, 30mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   CCcc 8751   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758
This theorem is referenced by:  subadd2  9071  pncan  9073  npcan  9076  subcan  9118  ltadd1  9257  leadd2  9259  ltsubadd2  9261  lesubadd2  9263  ltaddrp2d  10436  lincmb01cmp  10793  iccf1o  10794  modadd12d  11021  expaddz  11162  spllen  11485  splfv2a  11487  remullem  11629  sqreulem  11859  climaddc2  12125  clim2ser2  12145  iseraltlem2  12171  fsumtscopo  12276  fsumparts  12280  bcxmas  12310  cosneg  12443  coshval  12451  sinadd  12460  sincossq  12472  cos2t  12474  absefi  12492  absefib  12494  sadadd2lem2  12657  bitsres  12680  bezoutlem2  12734  bezoutlem4  12736  pythagtrip  12903  pcadd2  12954  vdwapun  13037  vdwlem5  13048  vdwlem6  13049  vdwlem8  13051  gsumccat  14480  mulgnndir  14605  mulgdirlem  14607  mulgdir  14608  sylow1lem1  14925  efgcpbllemb  15080  cygabl  15193  ablfacrp  15317  icccvx  18464  pjthlem1  18817  ovolicc2lem4  18895  cmmbl  18908  voliunlem1  18923  itgmulc2  19204  dvle  19370  dvcvx  19383  dvfsumlem2  19390  dvfsumlem4  19392  dvfsum2  19397  ply1divex  19538  plymullem1  19612  coeeulem  19622  aaliou3lem6  19744  dvtaylp  19765  ulmcn  19792  abelthlem7  19830  pilem3  19845  lawcos  20130  affineequiv  20139  quad2  20151  dcubic1lem  20155  dcubic2  20156  dcubic  20158  mcubic  20159  quart1lem  20167  quart1  20168  asinlem2  20181  asinsin  20204  cosasin  20216  atanlogaddlem  20225  atanlogadd  20226  cvxcl  20295  scvxcvx  20296  bposlem9  20547  lgseisenlem1  20604  2sqlem3  20621  2sqblem  20632  dchrisumlem2  20655  selberg  20713  selberg2  20716  chpdifbndlem1  20718  selberg4  20726  pntrlog2bndlem1  20742  pntrlog2bndlem6  20748  pntibndlem2  20756  pntlemb  20762  pntlemf  20770  padicabv  20795  smcnlem  21286  ipval2  21296  hhph  21773  pjhthlem1  21986  golem1  22867  stcltrlem1  22872  ballotlemsdom  23086  rescon  23792  eupath2lem3  23918  modaddabs  24026  rtrclreclem.trans  24058  faclimlem8  24124  faclimlem9  24125  colinearalglem2  24607  axsegconlem9  24625  axpasch  24641  axeuclidlem  24662  bpoly4  24866  supadd  24996  itg2addnc  25005  itgaddnclem2  25010  itgmulc2nc  25019  dvreasin  25026  areacirclem2  25028  truni1  25608  2wsms  25711  rnegvex2  25764  pellexlem2  27018  pell14qrgt0  27047  rmxyadd  27109  rmxluc  27124  fzmaxdif  27171  acongeq  27173  jm2.19lem2  27186  jm2.26lem3  27197  stirlinglem5  27930  stirlinglem7  27932  sigarperm  27953  fargshiftfo  28383  onetansqsecsq  28485
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888
  Copyright terms: Public domain W3C validator