MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcompi Structured version   Unicode version

Theorem addcompi 8771
Description: Addition of positive integers is commutative. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addcompi  |-  ( A  +N  B )  =  ( B  +N  A
)

Proof of Theorem addcompi
StepHypRef Expression
1 pinn 8755 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 8755 . . . 4  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 nnacom 6860 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( B  +o  A ) )
41, 2, 3syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( B  +o  A ) )
5 addpiord 8761 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( A  +o  B ) )
6 addpiord 8761 . . . 4  |-  ( ( B  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( B  +N  A
)  =  ( B  +o  A ) )
76ancoms 440 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( B  +N  A
)  =  ( B  +o  A ) )
84, 5, 73eqtr4d 2478 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( B  +N  A ) )
9 dmaddpi 8767 . . 3  |-  dom  +N  =  ( N.  X.  N. )
109ndmovcom 6234 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +N  B
)  =  ( B  +N  A ) )
118, 10pm2.61i 158 1  |-  ( A  +N  B )  =  ( B  +N  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   omcom 4845  (class class class)co 6081    +o coa 6721   N.cnpi 8719    +N cpli 8720
This theorem is referenced by:  addcompq  8827  adderpqlem  8831
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-ni 8749  df-pli 8750
  Copyright terms: Public domain W3C validator