Theorem addcompq 5034

Description: Addition of positive fractions is commutative.

Hypotheses

Ref	Expression
addcompq.1	|- A e. V
addcompq.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
addcompq	|- (A +Q B) = (B +Q A)

Proof of Theorem addcompq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 5010	. . 3 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
2		addpipq 5026	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q +Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>.] ~Q )
3		addpipq 5026	. . 3 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (x e. N. /\ y e. N.)) -> ([<.z, w>.] ~Q +Q [<.x, y>.] ~Q ) = [<.((z .N y) +N (w .N x)), (w .N y)>.] ~Q )
4		visset 1804	. . . . . 6 |- x e. V
5		visset 1804	. . . . . 6 |- w e. V
6	4, 5	mulcompi 4996	. . . . 5 |- (x .N w) = (w .N x)
7		visset 1804	. . . . . 6 |- y e. V
8		visset 1804	. . . . . 6 |- z e. V
9	7, 8	mulcompi 4996	. . . . 5 |- (y .N z) = (z .N y)
10	6, 9	opreq12i 3958	. . . 4 |- ((x .N w) +N (y .N z)) = ((w .N x) +N (z .N y))
11		oprex 3968	. . . . 5 |- (w .N x) e. V
12		oprex 3968	. . . . 5 |- (z .N y) e. V
13	11, 12	addcompi 4994	. . . 4 |- ((w .N x) +N (z .N y)) = ((z .N y) +N (w .N x))
14	10, 13	eqtr 1487	. . 3 |- ((x .N w) +N (y .N z)) = ((z .N y) +N (w .N x))
15	7, 5	mulcompi 4996	. . 3 |- (y .N w) = (w .N y)
16	1, 2, 3, 14, 15	ecoprcom 4303	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A +Q B) = (B +Q A))
17		addcompq.2	. . 3 |- B e. V
18		dmaddpq 5031	. . 3 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
19		addcompq.1	. . 3 |- A e. V
20	17, 18, 19	ndmoprcom 4033	. 2 |- (-. (A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A +Q B) = (B +Q A))
21	16, 20	pm2.61i 126	1 |- (A +Q B) = (B +Q A)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802  (class class class)co 3948  N.cnpi 4944   +N cpli 4945   .N cmi 4946   ~Q ceq 4950  Q.cnq 4951   +Q cplq 4953

This theorem is referenced by:  ltaddpq 5051  addclprlem2 5091  addclpr 5092  addcompr 5095  distrlem4pr 5102  prlem934 5111  ltexprlem2 5115  ltexprlem6 5119  ltexprlem7 5120  prlem936a 5125

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-plpq 5007  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011

Copyright terms: Public domain