Theorem addcompr 5277

Description: Addition of positive reals is commutative. Proposition 9-3.5(ii) of [Gleason] p. 123.

Hypotheses

Ref	Expression
addcompr.1	|- A e. V
addcompr.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
addcompr	|- (A +P. B) = (B +P. A)

Proof of Theorem addcompr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plpv 5267	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A +P. B) = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z))})
2		plpv 5267	. . . . 5 |- ((B e. P. /\ A e. P.) -> (B +P. A) = {x | E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z +Q y))})
3		ancom 437	. . . . . . . . 9 |- ((z e. B /\ y e. A) <-> (y e. A /\ z e. B))
4		visset 1859	. . . . . . . . . . 11 |- z e. V
5		visset 1859	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
6	4, 5	addcompq 5216	. . . . . . . . . 10 |- (z +Q y) = (y +Q z)
7	6	eqeq2i 1528	. . . . . . . . 9 |- (x = (z +Q y) <-> x = (y +Q z))
8	3, 7	anbi12i 485	. . . . . . . 8 |- (((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z +Q y)) <-> ((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z)))
9	8	2exbii 1088	. . . . . . 7 |- (E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z +Q y)) <-> E.zE.y((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z)))
10		excom 1082	. . . . . . 7 |- (E.zE.y((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z)) <-> E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z)))
11	9, 10	bitri 171	. . . . . 6 |- (E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z +Q y)) <-> E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z)))
12	11	abbii 1618	. . . . 5 |- {x | E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z +Q y))} = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z))}
13	2, 12	syl6eq 1566	. . . 4 |- ((B e. P. /\ A e. P.) -> (B +P. A) = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z))})
14	13	ancoms 438	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (B +P. A) = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y +Q z))})
15	1, 14	eqtr4d 1553	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A +P. B) = (B +P. A))
16		addcompr.2	. . 3 |- B e. V
17		dmplp 5269	. . 3 |- dom +P. = (P. X. P.)
18		addcompr.1	. . 3 |- A e. V
19	16, 17, 18	ndmoprcom 4108	. 2 |- (-. (A e. P. /\ B e. P.) -> (A +P. B) = (B +P. A))
20	15, 19	pm2.61i 124	1 |- (A +P. B) = (B +P. A)

Syntax hints:   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016  {cab 1505  Vcvv 1857  (class class class)co 4021   +Q cplq 5135  P.cnp 5139   +P. cpp 5141

This theorem is referenced by:  dmenr 5329  enrer 5330  addcmpblnr 5335  mulcmpblnrlem 5336  ltsrpr 5340  addcomsr 5350  mulcomsr 5352  mulasssr 5353  distrsr 5354  ltsosr 5357  0lt1sr 5358  0idsr 5360  1idsr 5361  ltasr 5363  recexsrlem 5366  mulgt0sr 5368  mappsrpr 5372  ltpsrpr 5373  map2psrpr 5374

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-plpq 5189  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-plp 5242

Copyright terms: Public domain