MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  adddird Unicode version

Theorem adddird 8876
Description: Distributive law. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
addcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
addcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
addassd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
adddird  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) ) )

Proof of Theorem adddird
StepHypRef Expression
1 addcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 addcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 addassd.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 adddir 8846 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1182 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   CCcc 8751    + caddc 8756    x. cmul 8758
This theorem is referenced by:  1p1times  8999  recextlem1  9414  divdir  9463  2times  9859  subsq  11226  subsq2  11227  binom3  11238  discr1  11253  remullem  11629  sqrlem7  11750  binomlem  12303  arisum  12334  smumullem  12699  bezoutlem3  12735  bezoutlem4  12736  pcexp  12928  mul4sqlem  13016  vdwapun  13037  mulgnnass  14611  cnfldmulg  16422  nmotri  18264  blcvx  18320  itg1addlem5  19071  mbfi1fseqlem4  19089  itgconst  19189  itgmulc2  19204  dvexp  19318  dvcvx  19383  plyaddlem1  19611  dgrcolem1  19670  abelthlem2  19824  abelthlem7  19830  tangtx  19889  cxpadd  20042  dcubic  20158  binom4  20162  dquartlem2  20164  dquart  20165  quart1lem  20167  quart1  20168  cvxcl  20295  scvxcvx  20296  basellem9  20342  bposlem9  20547  lgsquad2lem1  20613  2sqlem4  20622  2sqblem  20632  dchrisumlem2  20655  dchrisum0lem1  20681  mudivsum  20695  chpdifbndlem1  20718  pntrlog2bndlem2  20743  pntlemr  20767  pntlemk  20771  ostth2lem2  20799  smcnlem  21286  subfacp1lem6  23731  subfacval2  23733  subfaclim  23734  cvxscon  23789  rescon  23792  brbtwn2  24605  ax5seglem3  24631  ax5seglem5  24633  axbtwnid  24639  axeuclidlem  24662  axcontlem2  24665  axcontlem4  24667  axcontlem7  24670  axcontlem8  24671  itg2addnc  25005  itgmulc2nc  25019  distsava  25792  rrnequiv  26662  jm2.19lem3  27187  jm2.25  27195  jm3.1lem2  27214  itgsinexp  27852  stirlinglem1  27926  stirlinglem4  27929  sigaraf  27946
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-addcl 8813  ax-mulcom 8817  ax-distr 8820
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877
  Copyright terms: Public domain W3C validator