Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  addeq0 Unicode version

Theorem addeq0 24097
Description: Two complex which add up to zero are each other's negatives. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2017.)
Assertion
Ref Expression
addeq0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  =  0  <-> 
A  =  -u B
) )

Proof of Theorem addeq0
StepHypRef Expression
1 df-neg 9278 . . . 4  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
21eqeq1i 2437 . . 3  |-  ( -u B  =  A  <->  ( 0  -  B )  =  A )
3 eqcom 2432 . . 3  |-  ( -u B  =  A  <->  A  =  -u B )
42, 3bitr3i 243 . 2  |-  ( ( 0  -  B )  =  A  <->  A  =  -u B )
5 0cn 9068 . . . 4  |-  0  e.  CC
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
7 simpr 448 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
8 simpl 444 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
96, 7, 8subadd2d 9414 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 0  -  B )  =  A  <-> 
( A  +  B
)  =  0 ) )
104, 9syl5rbbr 252 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  =  0  <-> 
A  =  -u B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6067   CCcc 8972   0cc0 8974    + caddc 8977    - cmin 9275   -ucneg 9276
This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  24769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-op 3810  df-uni 4003  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-riota 6535  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-ltxr 9109  df-sub 9277  df-neg 9278
  Copyright terms: Public domain W3C validator