Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  addeq0 Structured version   Unicode version

Theorem addeq0 24149
Description: Two complex which add up to zero are each other's negatives. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2017.)
Assertion
Ref Expression
addeq0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  =  0  <-> 
A  =  -u B
) )

Proof of Theorem addeq0
StepHypRef Expression
1 df-neg 9332 . . . 4  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
21eqeq1i 2450 . . 3  |-  ( -u B  =  A  <->  ( 0  -  B )  =  A )
3 eqcom 2445 . . 3  |-  ( -u B  =  A  <->  A  =  -u B )
42, 3bitr3i 244 . 2  |-  ( ( 0  -  B )  =  A  <->  A  =  -u B )
5 0cn 9122 . . . 4  |-  0  e.  CC
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
7 simpr 449 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
8 simpl 445 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
96, 7, 8subadd2d 9468 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 0  -  B )  =  A  <-> 
( A  +  B
)  =  0 ) )
104, 9syl5rbbr 253 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  =  0  <-> 
A  =  -u B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1654    e. wcel 1728  (class class class)co 6117   CCcc 9026   0cc0 9028    + caddc 9031    - cmin 9329   -ucneg 9330
This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  24821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-op 3852  df-uni 4045  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-riota 6585  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-ltxr 9163  df-sub 9331  df-neg 9332
  Copyright terms: Public domain W3C validator