MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  adderpq Unicode version

Theorem adderpq 8822
Description: Addition is compatible with the equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adderpq  |-  ( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )

Proof of Theorem adderpq
StepHypRef Expression
1 nqercl 8797 . . . 4  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e. 
Q. )
2 nqercl 8797 . . . 4  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e. 
Q. )
3 addpqnq 8804 . . . 4  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
5 enqer 8787 . . . . . 6  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
7 nqerrel 8798 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A ) )
87adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A
) )
9 elpqn 8791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
101, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
11 adderpqlem 8820 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A
)  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A ) 
+pQ  B ) ) )
12113exp 1152 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )
) ) ) )
1310, 12mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )
) ) )
1413imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  +pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )
) )
158, 14mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  B
) )
16 nqerrel 8798 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B ) )
1716adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B
) )
18 elpqn 8791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
192, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
20 adderpqlem 8820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B
)  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B ) 
+pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
21203exp 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  +pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) ) )
2219, 21mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  +pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) )
2310, 22mpan9 456 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  +pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  +pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
2417, 23mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  +pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B )  +pQ  ( /Q `  A ) ) )
25 addcompq 8816 . . . . . 6  |-  ( B 
+pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  +pQ  B
)
26 addcompq 8816 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B ) 
+pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) )
2724, 25, 263brtr3g 4235 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) )
286, 15, 27ertrd 6912 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) )
29 addpqf 8810 . . . . . 6  |-  +pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
3029fovcl 6166 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3129fovcl 6166 . . . . . 6  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3210, 19, 31syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
33 nqereq 8801 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +pQ  B
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  (
( /Q `  A
)  +pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  +pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3430, 32, 33syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  +pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  +pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  +pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3528, 34mpbid 202 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A ) 
+pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
364, 35eqtr4d 2470 . 2  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  +Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) ) )
37 0nnq 8790 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  e.  Q.
38 nqerf 8796 . . . . . . . . . . . 12  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
3938fdmi 5587 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  /Q  =  ( N.  X.  N. )
4039eleq2i 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  /Q  <->  A  e.  ( N.  X.  N. )
)
41 ndmfv 5746 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  A
)  =  (/) )
4240, 41sylnbir 299 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  A )  =  (/) )
4342eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  A
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
4437, 43mtbiri 295 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  A )  e.  Q. )
4544con4i 124 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
4639eleq2i 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  dom  /Q  <->  B  e.  ( N.  X.  N. )
)
47 ndmfv 5746 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  B  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  B
)  =  (/) )
4846, 47sylnbir 299 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  B )  =  (/) )
4948eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  B
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
5037, 49mtbiri 295 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  B )  e.  Q. )
5150con4i 124 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  B  e.  ( N.  X.  N. ) )
5245, 51anim12i 550 . . . . 5  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
5352con3i 129 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( ( /Q `  A )  e. 
Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. ) )
54 addnqf 8814 . . . . . 6  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
5554fdmi 5587 . . . . 5  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
5655ndmov 6222 . . . 4  |-  ( -.  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  /\  ( /Q `  B
)  e.  Q. )  ->  ( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  (/) )
5753, 56syl 16 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  +Q  ( /Q `  B
) )  =  (/) )
58 0nelxp 4897 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
5939eleq2i 2499 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  dom  /Q  <->  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
)
6058, 59mtbir 291 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  dom  /Q
6129fdmi 5587 . . . . . . 7  |-  dom  +pQ  =  ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )
6261ndmov 6222 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  +pQ  B )  =  (/) )
6362eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( A 
+pQ  B )  e. 
dom  /Q  <->  (/)  e.  dom  /Q ) )
6460, 63mtbiri 295 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( A  +pQ  B )  e.  dom  /Q )
65 ndmfv 5746 . . . 4  |-  ( -.  ( A  +pQ  B
)  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  (/) )
6664, 65syl 16 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )  =  (/) )
6757, 66eqtr4d 2470 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  +Q  ( /Q `  B
) )  =  ( /Q `  ( A 
+pQ  B ) ) )
6836, 67pm2.61i 158 1  |-  ( ( /Q `  A )  +Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  +pQ  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    X. cxp 4867   dom cdm 4869   ` cfv 5445  (class class class)co 6072    Er wer 6893   N.cnpi 8708    +pQ cplpq 8712    ~Q ceq 8715   Q.cnq 8716   /Qcerq 8718    +Q cplq 8719
This theorem is referenced by:  addassnq  8824  distrnq  8827  ltexnq  8841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-ni 8738  df-pli 8739  df-mi 8740  df-lti 8741  df-plpq 8774  df-enq 8777  df-nq 8778  df-erq 8779  df-plq 8780  df-1nq 8782
  Copyright terms: Public domain W3C validator