Theorem addge0 5587

Description: Addition of 2 nonnegative numbers is nonnegative.

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
addge0	|- ((0 <_ A /\ 0 <_ B) -> 0 <_ (A + B))

Proof of Theorem addge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . . . 5 |- A e. RR
2		lt.2	. . . . 5 |- B e. RR
3	1, 2	addgt0 5586	. . . 4 |- ((0 < A /\ 0 < B) -> 0 < (A + B))
4		0re 5427	. . . . 5 |- 0 e. RR
5	1, 2	readdcl 5321	. . . . 5 |- (A + B) e. RR
6	4, 5	ltle 5567	. . . 4 |- (0 < (A + B) -> 0 <_ (A + B))
7	3, 6	syl 10	. . 3 |- ((0 < A /\ 0 < B) -> 0 <_ (A + B))
8		opreq1 3965	. . . . . . 7 |- (0 = A -> (0 + B) = (A + B))
9	2	recn 5301	. . . . . . . 8 |- B e. CC
10	9	addid2 5318	. . . . . . 7 |- (0 + B) = B
11	8, 10	syl5eqr 1520	. . . . . 6 |- (0 = A -> B = (A + B))
12	11	breq2d 2627	. . . . 5 |- (0 = A -> (0 < B <-> 0 < (A + B)))
13	12	biimpa 416	. . . 4 |- ((0 = A /\ 0 < B) -> 0 < (A + B))
14	13, 6	syl 10	. . 3 |- ((0 = A /\ 0 < B) -> 0 <_ (A + B))
15		opreq2 3966	. . . . . . 7 |- (0 = B -> (A + 0) = (A + B))
16	1	recn 5301	. . . . . . . 8 |- A e. CC
17	16	addid1 5317	. . . . . . 7 |- (A + 0) = A
18	15, 17	syl5eqr 1520	. . . . . 6 |- (0 = B -> A = (A + B))
19	18	breq2d 2627	. . . . 5 |- (0 = B -> (0 < A <-> 0 < (A + B)))
20	19	biimpac 418	. . . 4 |- ((0 < A /\ 0 = B) -> 0 < (A + B))
21	20, 6	syl 10	. . 3 |- ((0 < A /\ 0 = B) -> 0 <_ (A + B))
22		opreq12 3967	. . . . 5 |- ((0 = A /\ 0 = B) -> (0 + 0) = (A + B))
23		0cn 5315	. . . . . 6 |- 0 e. CC
24	23	addid1 5317	. . . . 5 |- (0 + 0) = 0
25	22, 24	syl5eqr 1520	. . . 4 |- ((0 = A /\ 0 = B) -> 0 = (A + B))
26	4, 5	eqle 5569	. . . 4 |- (0 = (A + B) -> 0 <_ (A + B))
27	25, 26	syl 10	. . 3 |- ((0 = A /\ 0 = B) -> 0 <_ (A + B))
28	7, 14, 21, 27	ccase 754	. 2 |- (((0 < A \/ 0 = A) /\ (0 < B \/ 0 = B)) -> 0 <_ (A + B))
29	4, 1	leloe 5562	. 2 |- (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A))
30	4, 2	leloe 5562	. 2 |- (0 <_ B <-> (0 < B \/ 0 = B))
31	28, 29, 30	syl2anb 455	1 |- ((0 <_ A /\ 0 <_ B) -> 0 <_ (A + B))

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   class class class wbr 2616  (class class class)co 3960  RRcr 5220  0cc0 5221   + caddc 5224   <_ cle 5282   < clt 5473

This theorem is referenced by:  addge0t 5637  cjmulge0 6752  abs00 6803  abs00OLD 6804  abstri 6856  dscmet 7901  norm-ii 8988  projlem5 9178  projlem28 9201

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478

Copyright terms: Public domain