MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addge01d Unicode version

Theorem addge01d 9548
Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
addge01d  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  B  <->  A  <_  ( A  +  B ) ) )

Proof of Theorem addge01d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 addge01 9472 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  B  <->  A  <_  ( A  +  B ) ) )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  B  <->  A  <_  ( A  +  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    e. wcel 1717   class class class wbr 4155  (class class class)co 6022   RRcr 8924   0cc0 8925    + caddc 8928    <_ cle 9056
This theorem is referenced by:  xralrple  10725  sermono  11284  bernneq  11434  sqrlem7  11983  absrele  12042  climserle  12385  iseraltlem3  12406  fsumless  12504  sinbnd  12710  sadcaddlem  12898  mndodconglem  15108  isabvd  15837  ovolicc2lem4  19285  ioombl1lem4  19324  ioorcl2  19333  mbfi1fseqlem6  19481  coemulhi  20041  cxpaddle  20505  jensenlem2  20695  padicabv  21193  chscllem2  22990  hstle1  23579  esumpcvgval  24266  axpaschlem  25595  itg2addnclem  25959  itg2addnc  25961  areacirclem6  25989  pell1qrge1  26626  ltrmxnn0  26707  wallispilem4  27487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061
  Copyright terms: Public domain W3C validator